初等数学解题研究

第二章数学思想方法第一节猜证结合思想（1）授课内容：1、数学思想、数学方法及数学思想方法；2、五种基本的数学思想系统及形成；3、数学思想与数学问题解决4、猜证结合思想：1.1基本观点及解题策略；1.2证明推理与基本方法；(1)综合法与分析法。重难点：1、猜证结合思想：1.1基本观点及解题策略；1.2证明推理与基本方法；（1）综合法与分析法。讲授方法和手段、讲授、讨论，边讲边练相结合。一、基本概念：1、数学思想：是数学的基本观点，是对数学概念，原理、方法、发现法则的本质的认识。对于解题而言，数学思想就是解题策略，它能沟通问题与知识及方法间的联系，调节解题，是解题的指导思想，属于策略性知识。2、数学方法：是为了解决问题而采用的手段，步骤和程序，属于过程性知识。由于数学思想常常表现为数学方法的形成（即以数学方法的形式表现出来），所以通常把二者称为：数学思想方法。3、五种基本的数学思想（中学数学思想）：在数学的发展史上，形成了许多重要的数学思想，如：公理化思想；符号化思想，极限思想，固本思想等，但在中学主要学习下面五种数学思想：中学五中主要数学思想：1、猜证结合思想；2、分类与分步思想；3、化归思想；4、数形结合思想；5、函数与议程思想。我们学习五种数学思想的目标是：在头脑中主动的建构“五种数学思想系统，使自己的数学思想方法达到“系统化”和“明确化”。二、第一节猜证结合思想1、推理的两种形式：（1）似真推理：归纳人推理与类比推理叫似真推理。归纳推理：由个别的、特殊的结论，通过观察、实验分析，比较等手段，概括出一般性的结论。这种推理叫∽。类比推理：由特殊到特殊或由一般到一般的推理叫类比推理。由归纳推理或类比推理得到的结论不一定正确。∴叫似真推理。但，似真推理是创造性的逻辑推理。（2）证明推理：演绎推理叫证明推理，即：由一般原理推出个别的，特殊的结论的推理方法。证明推理所得出的结论都是正确的。总结上面内容我们得出：注两种推理：（1）似真推理（数学猜想）：归纳:特殊到一般类比:特殊到特殊或者一般到一般（2）证明推理：演绎：一般到特殊2、猜证结合思想2.1基本观点与解题策略（1）数学猜想：似真推理就叫数学猜想。我们的推理应该结合猜想与证明两种策略同时进行。靠猜想去发现，靠证明去反驳或证实发现。这就是所谓的猜证结合思想。（2）猜证结合思想：在问题解决时，要把猜想与证明两种策略综合运用，靠猜想去发现，靠证明去反驳或证实发现，使之互补优缺，这种思想叫猜证结合思想。下面用几个例子来说明猜证结合思想的应用。例：椭圆22221(0)xyabab的离心率512e，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个端点，则∠ABF=。（A）30°（B）60°（C）90°（D）120°解：应用猜证结合的思想：考察极端，在四个选中，90°是一个极端情形，先猜想∠ABF=90°（于是只须证明：1ABBFkk即可）。∵221()1ABBFbbcacakkeacacace.（注：椭圆cea）∴∠ABF=90°，选C本题目如果用“证明方法”计算结果，是很麻烦的：解：在△ABF中，由余弦定理得：222222222222222)()(·2cosbaacacabaacaabaBFABAFBFABABF22222aaccaab∵2222[1()]ccaaccaaa22225151(1)[1()]022aeea∴0cosABF.∴90ABF.∴选C显然用“证明”的方法做，计算量大，且思路容易受阻。而“猜证结合”则思路清晰，计算量小。例：定义在（－∞,+∞）上的偶函数f(x)满足：(1)()fxfx，且[1,0]且在是增数,()fx下面关于的判断正确的是.（1）f(x)是周期数函数；（2）f(x)的图象关于直线x=1对称；（3）f(x)在[0,1]上是增函数；（4）f(x)在[1,2]上是减函数；（5）f(x)=f(0).解：（考虑类比推理：在我们学过的偶函数中，有那些函数满足题目的条件：cosyx）把f(x)类比成cosx，把“1”类比成“”，显然函数cosyx满足题目的全部已知：在[－π,0]增，且)()(xfxf而余弦函数cosyx具有下列性质：是以T=2π的周期函数，——①满足关于直线x=π对称，——②满足在[－a，π]是增函数——③不满足在[π，2π]是减函数——④不满足在0cos2cos——⑤满足∴通过类比①②⑤对.例：已知1121,4nnnaqaaa（n=1,2…），求数列{an}的通项公式。分析：用“猜证结合”证明.解：当1n时，12131a；当2n时，272333a；当3n时，132355na……猜想：23()21nanNn.（第一步完成，下面用数学归纳法证明）证明：当1n时23()21nanNn成立；假设当nk时成立，当1nk时1291122244(3)421kkkkaaaak21221kk232(1)1k.3证明推理与基本方法证明推理就是演绎推理，即由一般推出特殊，所以证明推理的方法统称为演绎法。本节我们要弄清证明推理的三个问题：（1）证明的意义和要素；（2）证明的规则；（3）有几种基本的证明方法。3.1证明的意义和要素：数学证明就是用一些真命题来确定某个命题的真假性的思维形式（或推理过程）。（这就是证明的意义）从结构上看：数学证明有三个要素：（1）论题（要确定真假性的那个命题）；（2）论据（被用来作为证明的充足理由，它包括题目的已知，公式、定理及其他真命题）；（3）论证，论证不但要符合逻辑（注：论证过程要符合逻辑的推理过程，而逻辑规律有四条：逻辑规律有四条：（1o）同一律：A是A（即：每一个概念在同一时间和同一关系下，应该是确定不变的，即：在同一讨论过程中，每个概念都应当按照同一的意义来使用，而不能忽而这样，忽而那样）。（2o）矛盾律：A不是非A（在推理或讨论的过程中，在同一时间，同一关系下，不能对同一对象作出两个相反的论断）。（3o）排中律：或A，或者非A（在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个成立，不能有第三种情形出现）（4o）充足理由律：因为有B，所以有A，（即由AB）（B表示用来确定A真的一个或几个判断）；3.2数学证明的规则：数学证明还要符合下面三条规则。（1）论题要明确；（2）论据要真实；（3）论据不能靠论题来证明。（注：论题的真实性是靠论据来证明的，如果论据的真实性又要靠论题来证明，那么实际上什么也没有证明，违反这条规则的逻辑错误，叫做循环论证。）讨论：下面证明错误在哪里：例5：在Rt△ABC中，C=90°，求证222cba证明：∵1cossin22AA又∵sin,acAcosbcA∴AAcba22222cossin2222)cos(sincAAc注：这个证明是错误的，∵证明过程中的证据是1cossin22AA，论题是：222cba，而证据1cossin22AA是由论题222cba推出的。因此在证明：222cba时不能以1cossin22AA为证据来证明222cba。3.3有几种最常用的证明方法：（1）综合法与分析法综合法：由问题的已知或已知的真命题出发，一步一步推出问题的结果的证明方法叫∽。（执因导果）例1：已知a、b∈R+，且a≠b，求证a3+b3＞a2b+ab2证明（综合法）：a、b∈R+，且a≠b，∴0ab，∴2()0ab，∴（a+b）（a－b）2＞0，∴（a2－b2）（a－b）＞0，∴a3+b3－a2b－ab2＞0，∴a3+b3＞a2b+ab2.分析法：由问题的论证结论出发，步步寻求结果成立的充分条件，直至这个充分条件已经具备，至此问题获解，（执果索因）（或称倒溯法）例：证明：213xx（13x）证明（分析法）：31x.∴03x、01x要使213xx，只要4)13(2xx只要：4)1)(3(213xxxx只要：1)1)(3(xx只要：2440xx，即：2(2)0x显然2(2)0x成立.所以原不等式成立.注：应用分析法时，必须“下一步是上一步的充分条件”，即由“下一步”能推出“上一步”。分析法是“执果索因”，这有利于寻找证题思路；而综合法是“执因索果”，其优点是：书写证明过程清晰简洁.因此常把分析法与综合法结合起来应用：用分析法寻找证题思路；用综合法书写证明过程.例：若,,abcR，证明：222222abbccaabcabbcac.分析（用分析法寻找证题思路）要证结论成立22;,22abbcaabbbc22cacac，但事实上这三个不等式不可能成立，看第一个不等式：把a固定，而b没有限制可以无限增大，因此不成立.此思路错误.考虑证明：2222abcaac，（用分析法寻找此不等式的证题思路）：要证2222ababab222233()()()()0abababaabbba33222()()0()()0ababaabbab最后一个不等式显然成立，到此证题思路就完全清楚了.（用综合法书写证题过程）：证明：因为,,abcR，所以：222()0,()0,aabbab222()()0aabbab，所以33()()0abab，所以33()()0aabbba，所以33()()0aabbba，所以2222()()ababab，所以2222abcaac.同理2222,2222bcbcaccabcac，三式相加可得原不等式成立.分析综合法：把分析法和综合法同时使用的证题方法叫分析综合法.例.在ABC中，,,abc分别是三个内角,,ABC的三条对边.证明：若,,abc成等差数列，则cot,cot,cot222ABC也成成等差数列.分析：应用分析综合法：解.由,,abc成等差数列得abba，（把“边换成角”：）sinsinsinsinABBC（结合所证结论中是半角，应用和差化积，化为半角）2cossin2cossin2222ABABBCBC，2sinsin2sinsin2222CABABC(上面推出的最后一个等式，而无法再进行下去了，下面再用分析法寻找证题思路)，要证：cot,cot,cot222ABC也成成等差数列，只须证明：coscoscoscos2222sinsinsinsin2222ABBCABBC,只须证:cossincossincossincossin22222222sinsinsinsin2222ABBABCCBABBC,即:sinsin22sinsin22BACBAC只须:sinsinsinsin2222CBAABC,此等式成立.作业：P157：1、2第一节猜证结合思想（2）授课内容：1、（1、4）比较法；（1）叠合比较法；（2）割法，补法和比法；（3）作差法，作比较，取函数法。重点：1、叠合比较；2、切、补法和比较3、作差法，作比法，取函数法讲授方法：讲授，讨论，边讲边练。1、比较法：比较是推理的基本方法，包括类比和对比。下面讨论的比较法都是证明推理的比较法（即证明方法）。（1）叠合比较法：比较两个图形，或一个图形的不同部分的形状和位置的证题方法叫∽。叠合比较法包括用“全等或相似”的知识的证明方法.例1：求证托勒密定理：设凸四边形ABCD内接于一个圆，则ABCD+ADBC=ACBD.注：用全等三角形或相似三角形的方法来证明题目的方法，也是叠合比较法。解：∵本题涉及到线段的积，∴考虑相似三角形的知识来证明：在对面线BD上取一点E，使∠BAE=∠CAD则△ABE∽△ACD（∵∠1=∠2）BEACCDABCDACBEAB··(比较要证明的