初等数学部分

1/13初等数学部分一、一次函数和二元一次方程（组）1.形如(0)ykxbk形式的函数叫做一次函数，其图像（图1—1）为一条倾斜直线。其中tanykx叫做斜率，b叫做纵轴截距，斜率表示函数的变化率即函数随自变量变化的快慢。特殊地，当b=0时，ykx又称为正比例函数，可简记为：yx2.一次函数（直线方程）的几种常见形式：①点斜式：00()yykxx其中直线过点A00(,)xy②斜截式：ykxb③两点式：112121yyxxyyxx直线过点A11(,)xy、B22(,)xy④截距式：1xyaba为横轴截距，b为纵轴截距⑤一般式：0AxByC0AB、不全为3.点到直线的距离点00,)xyP（到直线0AxByC的距离为：0022AxByCdAB4.两直线的位置关系直线1l：11ykxm或1110AxByC直线2l：22ykxm或2220AxByC①111121212222ABCllkkmmABC且或//②111121212222ABCllkkmmABC与重合且或③1212121210llkkAABB或5.两直线的夹角直线1l：11ykxm和直线2l：22ykxm的夹角θ满足1212tan1kkkk026.二元一次方程（组）二元一次方程组的标准形式为：111222AxByCAxByC2/13①当1122ABAB时，即方程组中的两个方程所表示的两条直线相交于一点，方程组只有唯一解；②当111222ABCABC时，即方程组中两个方程所表示的两条直线重合，方程组有无穷多组解；③当111222ABCABC时，即方程组中两个方程所表示的两条直线平行，方程组无解。7.坐标系中两点间距离公式①二维坐标系中两点间距离公式：111(,)pxy，222(,)pxy之间的距离公式：22122121()()ppxxyy②三维坐标系中两点间距离公式：1111(,,)pxyz，2222(,,)pxyz之间的距离公式：22212212121()()()ppxxyyzz二、二次函数和一元二次方程1.形如2(0)yaxbxca形式的函数叫做二次函数，其图像(图2—2)为一条抛物线，0a时，抛物线开口向上；0a时，抛物线开口向下。对称轴方程为：2bxa顶点坐标：24(,)24bacbaa，当2bxa时244acbya最值2.形如20(0)axbxca形式的方程叫做一元二次方程根的判别式：24bac求根公式：242bbacxa①0时，有两个不相等实根；②0时，有两个相等实根；③0时，无实根。韦达定理：12bxxa，12cxxa三、数列1.等差数列：一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列。记为：21321(nnaaaaaad公差），如数列﹛3、6、9、12、15、18、……﹜通项公式：1(1)naand前n项和公式：11()(1)22nnaannnsnad3/13等差中项：2abA2.等比数列：一个数列从第二项起，每一项与它的前一项之比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列。记为：32121(nnaaaqaaa公比）通项公式：11nnaaq前n项和公式：11(1)11nnnaqaaqsqq特殊地﹛na﹜是一个无穷等比数列且1q时，则有11nasq等比中项：Gab3.几种常见数列的通项公式1123(1)2nnn2135(21)nn224621nnn22221123(1)(21)6nnnn4.高阶等差数列通项公式例：有一数列﹛1、2、4、7、11、16、……﹜求其通项公式na解：由原数列可得：21324354121123421nnnnaaaaaaaaaanaan将以上各式相加可得：四、不等式1.222()abababR、2.(0,0)2ababab当且仅当ab时取“=”112123(1)(1)222nnnaannnaanna4/133.2(0)baabab4.3333(000)abcabcab、、c当且仅当abc时取“=”5.3(00c0)3abcababc、、当且仅当abc时取“=”6.1212nnnaaaaaan7.2221122abababab五、三角函数1.函数sin()yAx及其图像A叫做振幅表示振动质点离开平衡位置的最大距离，反映振动的强度。叫做角频率，该函数的周期2T，频率12fT，x叫做相位，是初相。将函数sinyx的图像纵坐标扩大为原来的A倍，再将横坐标变为原来的1，向左（0）或向右（0）平移个单位便可得到函数sin()yAx的图像。关于函数图像的平移问题函数()yfxkm的图像是将函数()yfx的图像向右（0k）或向左（0k）平移k个单位，再向上（m0）或向下（m0）平移m个单位得到的。例如：将函数2logxy的图像向左平移一个单位即可得到函数2(1)logxy的图像。2.角的弧度制lR（图5—1）扇形的面积：22(3601122nRsnslRR是弧所对的圆心角，单位为度）（是弧对的圆心角，单位为弧度）3.三角公式①诱导公式②同角公式sincsc1cossec1tancot10000sin(90)coscos(90)sintan(90)cotcot(90)tan0000sin(90)coscos(90)sintan(90)cotcot(90)tansin()sincos()costan()tancot()cot0000sin(180)sincos(180)costan(180)tancot(180)cot0000sin(180)sincos(180)costan(180)tancot(180)cot5/13sintancoscoscotsin22sincos1221tansec221cotcsc③和差角公式sin()sincoscossincos()coscossinsintantantan()1tantan④倍角公式sin22sincos2222cos2cossin2cos112sin22tantan21tan3sin33sin4sin3cos34cos3cos⑤万能公式22tan2sin1tan2221tan2cos1tan222tan2tan1tan2⑥半角公式1cossin221coscos221cossintan2sin1cos⑦辅助角公式22sincossin(),tanbababa其中⑧积化和差公式1sincossin()sin()21cossinsin()sin()21coscoscos()cos()21sinsincos()cos()2⑨和差化积公式sinsin2sincos22sinsin2cossin226/13coscos2coscos22coscos2sinsin22⑩正弦定理(如图5—2)2sinsinsinabcRABC(R为ΔABC外接圆半径)⑾余弦定理（如图5—3）2222cosabcbcA2222cosbacacB2222coscababC⑿三角形面积（如图5—4）1sin21sin21sin2sbcAacBabC海伦公式：()()()2sppapbpcabcpabcABC其中（、、为三条边长）六、反三角函数1.反正弦函数（如图6—1）arcsin1,1,22yxxy反正弦函数是奇函数，是增函数。2.反余弦函数（如图6—2）arccos1,10,yxxy反余弦函数是非奇非偶函数，是减函数。3.反正切函数（如图6—3）,arctan22yyxxR反正切函数是奇函数，是增函数。4.反余切函数（如图6—4）cot(0,)yarcxxRy反余切函数是非奇非偶函数，是减函数。5.反三角函数公式7/13①sin(arcsin)1,1cos(arccos)1,1tan(arctan)cot(cot)xxxxxxxxxRarcxxxR②arcsin()arcsin1,1arccos()arccos1,1arctan()arctancot()cotxxxxxxxxxRarcxarcxxR③arcsin(sin),22arccos(cos)0,arctan(tan),22cot(cot)0,xxxxxxxxxarcxxx④arcsinarccos1,12arctancot2xxxxarcxxR七、排列、组合、二项式定理1.排列!(1)(2)(1)()!mnnAnnnnmnm!(0!1)nnAn规定如：255420A2.组合(1)(2)(1)!mmnnmmAnnnnmCAm!!()!mnnCmnmmnmnnCC101(1)mmmnnnnCCCC规定如：2554102C3.二项式定理012221()()nnnnrnrrnnnnnnnabCaCabCabCabCbnN八、常见的体积和表面积公式1.体积公式棱柱体积：Vsh棱锥体积：13Vsh8/13棱台体积：''1()3Vhssss圆柱体积：2Vrh圆锥体积：213Vrh圆台体积：22''1()3Vhrrrr球的体积：334136VRd球缺体积：21(3)3VhRh2.表面积公式直棱柱侧面积：sch正棱锥侧面积：'12sch正棱台侧面积：''1()2scch圆柱侧面积：2sclrl圆锥侧面积：12sclrl圆台侧面积：''1()()2scclrrl球表面积：24sR球冠的面积：2sRh3.欧拉公式2VFE其中V为简单多面体的顶点数，F为面数，E为棱数。比如：长方体顶点数为V=8，面数F=6，棱数E=12九、圆锥曲线1.圆①定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合（或轨迹）是圆，定点就是圆心，定长就是半径。②圆的标准方程222)(),)xaybrOab(其中圆心(，半径为r特殊地222xyrr其中圆心O（0,0),半径③圆的一般方程2222040xyDxEyFDEF其中变形为：④过圆上一点00(,)pxy的圆的切线方程圆的方程圆的切线方程2222224)()2242242DEDEFDExyODEFr（其中圆心（，）半径9/13222xyr200xxyyr222()()x