南开大学2000空间解析几何与高等代数试题

南开大学2000年硕士入学考试试题――高等代数1、（10分）求直线02201zyxzyx在平面0123zyx上的垂直投影。2、（10分）求过点(0,1,0)且与两条直线0201yxyx，02013yxzyx均相交的直线方程。3、（10分）设这线L和平面平行，则直线L上任一点到平面的距离均相等，称之为直线L到平面的距离。求和下面两条直线01032zyx0201yzx距离相等的平面方程。4、（10分）设2R是实数域R上的2维向量空间，线性变换22:RRT在基)0,1(1e，)1,0(2e下的矩阵是2012证明：（1）设1W是由1e张成的2R的子空间，则1W是T的不变子空间（2）2R不能表示成T的任一不变子空间2W与1W的直和。5、（15分）设2R是实数域R上的2维向量空间22:RRT),(),(2221xxxx是线性变换（1）求T在基)2,1(1，)1,1(2下的矩阵；（2）证明对于每个实数c，线性变换cET是可逆变换，这里E是2R上的恒等变换6、（15分）设n级矩阵0001001001001000，求可逆矩阵T使得矩阵ATTB1是对角形，并求矩阵B。7、（15分）设S是数域P上n维线性空间V上线性变换。证明（1）01nS，0nS则V中存在一个基使得S在这个基下的矩阵为010000001000000010000001000000（2）如M，N是数域P上两个n级方阵，110nnNM，0nnNM，则M和N相似8、（15分）设)(xf是数域P上的n次多项式，这里1n；且设)(xf的一阶微商可以整除)(xf，证明nbxaxf)()(，0,,aPba