判断充分条件与必要条件的常用方法

判断充分条件与必要条件的常用方法江苏省盐城师院第一附属中学杨绍国（224001）在充分条件与必要条件的判断中，对充分条件、必要条件的理解是个难点，首先，要理解命题的条件和结论之间的下列关系：（1）若pq但qp，则p是q的充分而不必要条件；（2）若qp但pq，则p是q的必要而不充分条件；（3）若pq且qp，则p是q的充分且必要条件；（4）若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件。充要条件问题反映了条件p和结论q之间的因果关系。判断条件是结论的什么条件有常用方法有以下几种：一、利用概念判断利用概念判断可按以下步骤进行：第一步：确定条件是什么，结论是什么；第二涉：尝试从条件去推结论，再从结论去推条件；第三步：确定条件是结论的什么条件。例1命题p：220xy是命题q：0xy什么条件？分析由命题p知x=y=0，从而xy=0，由定义知pq但xy=0220xy即qp所以p是q的充分而不必要条件。注：本题直接通过充分条件与必要条件的概念来判断。二、利用真值表判断例2命题p：x1是命题q：x≥1的什么条件？分析命题q可以写成q：x1或x=1设命题r：x=1，则q：p或r,因为p或q为真p为真。但p为真p或r为真，即q为真。所以命题p：220xy是命题q：0xy的充分而不必要条件。注本题将复合命题q分解为“或命题”的形式，再利用真真值表来判断。三、利用互为逆否命题的等价性来判断（正难则反）例3判断命题p：12xy且是q：3xy的什么条件？分析p能否推出q等价于：q能否推出p，即x+y=3能否推出x=1或y=2，显然qp，所以pq，同理，由于x=1或y=2x+y=3，即pq,所以qp，即p是q的既不充分也不必要条件。注本题通过互为逆否命题的两个命题等价性来判断充分条件与必要条件,体现了“正难则反”的思想，操作也十分方便。四、利用集合间的包含关系判断设集合A＝｛x|p(x)成立｝，集合B={x|q(x)成立}。即集合A是由符合条件p的构成的集合，集合B是由符合条件q的x构成的集合；（1）若AB，则p是q的充分而不必要条件；（2）若AB，则p是q的必要而不充分条件；（3）若A＝B，则p是q的充分必要条件；（4）若AB且BA,则p是q既不充分条件也不必要条件。例4判断命题p是命题q的什么条件？（1）p：0x3，q：|x-1|2；（2）p：2223,:23;xxxqxx（3）p：x=-1或x=2,q：22xx分析（1）设A＝｛x|0x3｝，B＝｛x|：|x-1|2｝={x|-1x3}则AB，p是q的充分而不必要条件。（2）设A＝｛x|223xxx｝={0,3}，B＝｛x|223xx｝＝｛－1，3｝，AB且BA，p是q的既不充分也不必要条件。（3）设A＝｛x|x=-1或x=2｝，B＝｛x|22xx｝={2}，所以AB，p是q的必要不充分条件。注本题通过集合间的包含关系来判断两个命题的充要关系，简单易行。