华工概率论与数理统计试卷及答案6

《概率论与数理统计》试卷A第1页共11页诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《概率论与数理统计》试卷(A)注意事项：1.考前请将密封线内填写清楚；2.允许使用计算器，所有答案请直接答在试卷上；3．考试形式：闭卷；4.本试卷共八大题，满分100分，考试时间120分钟。题号一二三四五六七八总分得分评卷人可能用到的数表值：14.412,732.1399.0)33.2(,975.0)96.1(,95.0)645.1(,9.0)285.1(,8413.0)1(0.0250.0250.050.05(6)2.45,(7)2.36,(6)1.943,(7)1.895tttt一．（本大题15分）一个去掉大小王的扑克共52张牌，洗匀后从中随机抽牌。（1）随机抽取6张,求所抽的牌中含有红桃A的概率。（2）随机抽取6张，求所抽的6张牌中含有红桃A、且至少含有一张K的概率。（3）随机抽取n张,为使所抽的牌中至少有一个“对子”的概率大于1/2，试列出n应满足的条件。（列出算式即可。）解答：（1）652551/CC（2）652547551/)(CCC（3）2/1/)(1521413nnnCCC_____________________…姓名学号学院专业座位号(密封线内不答题)……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………《概率论与数理统计》试卷A第2页共11页二．（本大题12分）一个盒子中装有红、黑两色共25个球，其中红球有13个。现甲先在暗处从盒中随机抽一个球a并收藏起来，然后让你从盒子中任抽两个球。（1）求你抽出两个红球的概率。（2）如果你现场随机抽到的两个球都是红球，求甲收藏的球a是红色的概率。如果让你猜测甲收藏的球a的颜色，为使猜中的可能性最大，你会猜甲收藏的球是什么颜色的？解答：分别记BA、为事件{甲抽出的是红球}、{乙抽出的两个都是红球}。（1）501323241213251223241112251325122513)|()()|()()(224213224212CCCCABPAPABPAPBP（2）2123115013232411122513)()|()()|(BPABPAPBAP故a的颜色为红色的概率比a的颜色为黑色的概率小，选择判a为黑色。《概率论与数理统计》试卷A第3页共11页三．（本大题15分）。设(,)XY的联合分布律为-10100.10.30.110.20.20.1求21XYZ和22YZ的分布律，并求),(C2YXov。解答：P0.10.30.10.20.20.1(,)XY(0,-1)(0,0)(0,1)(1,-1)(1,0)(1,1)21XYZ00010122YZ101101X0001113.07.010~21XYZ,5.05.010~22YZ,5.05.010~X05.05.05.03.0)()()(),(222YEXEXYEYXCovXY《概率论与数理统计》试卷A第4页共11页四．（本大题15分）。设随机向量(,)XY的密度函数为其他,0,10,||,1),(xxyyxf(1)求关于X和Y的边缘密度函数)(xfX，)(yfY。(2)求)(),(),(XDYEXE和),(CYXov。(3)X与Y是否独立？是否不相关？解答：(1)xxXxxyxf10,2d1)(，1||11|,|1d1)(yYyyxyf。(2)10221110,181)32(d2)(,0d|)|1()(,32d2)(xxxXDyyyYExxxXE100dd),(xxxyxyYXCov。可见X与Y不相关。由),()()(yxfyfxfYX知X与Y不独立。《概率论与数理统计》试卷A第5页共11页五．（本大题12分）。网站业余兼职助理甲在每个工作日其上网时间（单位：小时）服从（1,5）上的均匀分布，且在各工作日上网时间相互独立。求助理甲在900个工作日累计上网时间超过2632小时的概率。（可用数表数据见试卷首页）解答：记iX为助理甲某第i个工作日的上网时间，由设知{iX}独立同分布，)5,1(~UXi于是，.3/412/16)(,3)(iiXDXE记niinXS1，则975.0)96.1()96.1(1)31517(1)315173/43603900()3/4900390026323/49003900()2632()15819(9009009009001SPSPSPXPii《概率论与数理统计》试卷A第6页共11页六．（2学分，本大题12分）。设随机变量X和Y同分布，X的概率密度函数为其他,0,10,)(2xaxxf（其中a是常数）且假定事件A={X0.5}与事件B={Y0.5}独立.(1)求常数a。(2)求)(AP和)(BAP。解答：(1)3,1d102axax。(2)8715.02d3)(xxAP,64576449871,)](1)[(1),()](1)[()](1[)()()()()(同分布）（独立YXAPAPBABPAPBPAPBAPBPAPBAP《概率论与数理统计》试卷A第7页共11页七．（2学分，本大题9分）。设X服从参数为的指数分布，其密度函数为.0,0,0,e)(xxxfx求随机变量}4,{M)(2XaxXgY的分布函数。解答：.4,e-1,4,0.4,de,4,0.4),(,4,0)4,()}4,{M()()(y-0x-22yyyxyyyXyPyyyXPyXaxPyYPyFyY《概率论与数理统计》试卷A第8页共11页八．（2学分，本大题10分）。游园晚会推出有奖游戏，道具是一个匀质圆盘，其边缘圆周被等分为10等分，分别标有数值1,2,…,10。参与者旋转圆盘，若停留时指针指向的数值不小于8，则给参与者记一分、并奖励再转一次，如此进行下去，直至出现旋转指针指向的数值小于8时该参与者结束游戏，此时将最后结束时这次旋转得的数值作为其先前累计得分的倍数，计算参与者得分，按其得分派出奖品。例如，参与者甲旋转的第一、二次指针指向的数值分别是9、8，第三次指针指向数值是6，则甲第三次旋转后结束游戏，共旋转三次、得分是(1+1)6=12分。若参与者首次转出数值小于8则其以得0分并结束。记参与者结束时总旋转次数为X、最后那次旋转指针指向数值为Y。（1）求(,)XY的联合分布律。X与Y独立吗？（2）求参与者平均得分。解答：（1）7,6,5,4,3,2,1;,3,2,1,101)103(),(1jijYiXPi,3,2,1,107)103(),()(171ijYiXPiXPij7,,3,2,1,7111101101)103(),()(103111jjYiXPjYPiii于是7,6,5,4,3,2,1;,3,2,1),()(),(jijYPiXPjYiXP，故X与Y独立。（2）记S为参与者的得分，则YXS)1(，但由(1)结果知故X与Y独立，故7124]1)10/31(1107[2871]1|)1(1107[2871]1|)111(107[)7654321(71]1|)(107[71]1107)103([)()1()()1(])1[()(210/3210/3'10/3'17111xxxiijiixxxjiYEEXYEXEYXESE《概率论与数理统计》试卷A第9页共11页六．（3、4学分，本大题15分）。设总体X有分布律：103~314X，其中104，求：（1）θ的矩估计；（2）θ的极大似然估计；（3）讨论上面两种方法所得估计量是否无偏。解：（1）因为3(14)313EX，所以θ的矩估计为：1313X（2）设容量为n的样本12nXXX的观察值中取-1的有r1个，取0的有r2个，取3的有r3个，123rrrn，则似然函数为312(3)(14)rrrL2123lnln3()lnln(14)Lrrrr33ln414dLnrrd得驻点：31(1)4rn，θ的极大似然估计为：321(1)4rn（3）1E，θ的矩估计无偏；因为3r是n个样本中出现3的个数，类似Bernoulli试验，由二项分布得3(14)Ernpn，2E，θ的极大似然估计无偏。《概率论与数理统计》试卷A第10页共11页七．（3、4学分，本大题10分）。已知用某种钢生产的钢筋强度服从正态分布。长期以来，其抗拉强度平均为52.00kg/mm2。现改变炼钢的配方，利用新法炼了7炉钢。从这7炉钢生产的钢筋中每炉抽一根，测得其强度分别为52.4548.5156.0251.5349.0253.3854.04问用新法炼钢生产的钢筋，其强度的均值是否有明显提高（=0.05）？并求新法炼钢生产钢筋强度均值的置信概率1-的置信区间。解：01:52,:52HH（用01:52,:52HH也可）052~(6)/7HXTtS拒绝域：{(6)1.943}tt（或/2{||(6)2.45}tt）观察值：52.1357x，2.6954s，0.1332t不拒绝0H，即新配方炼钢生产的钢筋，其强度的均值与旧的没有明显提高。新法炼钢生产钢筋强度均值的置信概率95%的置信区间：~(6)/7XTtS/2/2/,/49.6397,54.6317XtSnXtSn《概率论与数理统计》试卷A第11页共11页八．（3、4学分，本大题6分）。某款游戏中，一小孩每经过一扇“门”，电脑会执行如下指令：以0.25的概率给出3个障碍，经过后到达终点；以p1的概率给出2个障碍，经过后又是一扇“门”；以p2的概率给出1个障碍，经过后也是一扇“门”。如果小孩到达终点平均要经过7个障碍，则p1与p2要等于多少？解：令X={小孩到达终点要经过的障碍数}，21123~0.25Ypp，21121222[(|)](|1){1}(|2){2}(|3){3}(1)(2)0.253()()0.750.751.5EXEEXYEXYPYEXYPYEXYPYpEXpEXppEXpppEXp20.251.5EXp217,0.25,0.5EXpp