利息理论1.

利息理论主要参考书：1、《金融数学引论》吴岚，黄海著北京大学出版社2、《利息理论》，上海科学技术出版社，S.G.凯利森著，尚汉冀译。课程介绍1、北美精算师协会的准精算师资格考试中的经济金融的主要部分。2、国内保险精算专业的核心基础课。4、所提供的方法具有极为广泛的适用性，其应用范围远远超出了保险精算领域，在投资分析、财务管理、金融产品的定价等方面都有参考价值。5、本课程的基本目的是使学生们掌握基本的金融计算的概念、术语和原则，同时对一些基础性的金融工具进行现金流价值分析。3第一章利息基本计算利息基本函数利率现值名利率与名贴现率利息力与贴现力利息基本计算在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的增值，资金周转使用时间越长，实现的价值增值越大。同时，等额的货币在不同时间上由于受通货膨胀等因素的影响，其实际价值也是不同的。因此，货币的拥有者把货币使用权转让给其他经济活动者，他应该获得与放弃这个使用机会时期长短相应的报酬。定义利息就是掌握和运用他人资金所付的代价或转让货币使用权所得的报酬。利息的计算与累积函数的形式、利息的计息次数有关。5§1.1利息基本函数一般地，一笔金融业务可看成是投资一定数量的钱款以产生利息，初始投资的金额称为本金，而过一段时间后收回的总金额称为累积值。累积值=本金+利息假定：设一旦给定了原始投资的本金数额，则在以后任何时刻累积值均可确定，且设在投资期间内不再加入或抽回本金。也就是说，资金数额的任何变化严格说都是由利息效应产生的。——自融资假设6定义1.1考虑一单位本金，记原始投资为1时在任何时刻的累积值为a(t)，称为累积函数。a(t)的性质：(1)a(0)=1;(2)a(t)通常为增函数；典型累积函数:itta1)(iteta)(,...2,1,)1()(titat1.1.1累积函数7定义1.2A(t)=k×a(t)称为总量函数，它给出原始投资为k时在时刻t=0的累积值。记从投资之日算起第n个时期所得到的利息金额为In.则In=A(n)-A(n-1)(1.1)注设t为从投资之日算起的时间，用来度量时间的单位称为“度量时期”或“时期”，最常用的时期为一年以I(t)表示t时刻的利息额，则I(t)=A(t)-A(0)8定义1.3时间区间内总量函数A(t)的变化量(增量)与期初货币量的比值称为在时间区间内的利率,记为为了表示货币价值的相对变化幅度,度量利息的常用方法是计算所谓的利率.],[21tt],[21tt)()()()(1,112,2121tAItAtAtAitttt特别地,当时,记ntnt21,1表示从投资之日算起第n个时期的利率.)1()1()1()(nAInAnAnAinn9定义1.4(实)利率i是指在某一时期开始时投资1单位本金时，在此时期内应获得的利息。如：一年期存款，年利率i=2.25%,故a(1)=1+2.25%本金100元，年末累积值为100(1+2.25%)=102.25元如果记息期为标准时间单位,通常是一年,一月或一季,或”一个时期”,则所得利率常称为实(质)利率.显然，A(n)=A(n-1)(1+in)注（1)利率常用百分比表示。（2）本金在整个时期内视为常数（3)利率是一种度量，其中利息在期末支付。它可用累积函数确定如下：)()()(112,21tatataitt1.1.2.单利和复利定义1.5若有这样一种累积计算方式:1个货币单位的投资，在每一时期中得到的利息为常数，则称对应的利息计算方式为简单利息计算方式,简称单利方式.对应的利息称为单利.结论1.2在单利方式下,其累积函数为线性的:a(t)=1+it对整数t0其中i称为单利率.定义1.6若有这样一种累积计算方式:1个货币单位的投资，经过任何一个单位的计息期产生的利率为常数，则称对应的利息计算方式为复合利息计算方式,简称复利方式.对应的利息称为复利.复利计算模式的基本思想是:利息收入应该自动地被记入下一期的本金.复合利息计算方式中的”复合”一词意味着将利息经过再投资后再次产生新利息的过程.12结论1.3复利的累积函数是a(t)=(1+i)t对整数t0其中i称为复利率.单利与复利的异同(1)单利与复利对单个度量时期会产生同样的结果。对较长的时期，复利比单利产生较大的累积值，而对较短的时期则相反。(2)增长形式不同：对于单利来说，它在同样长时期内的增长绝对值保持为常数；而对复利来说则是增长的相对比率保持为常数。即对单利：a(t+s)-a(t)不依赖于t对复利：[a(t+s)-a(t)]/a(t)不依赖于t(3)单利常用于人民币存款及利率不足期的近似计算；复利常用于贷款，保险，投资收益分析等场合.131.1.3贴现函数考虑这样的问题：一笔十年后付1000元的付款，相当于现在付多少元？购房时，一次付清可享受适当的优惠，一次付清与分期付款到底那个合算?定义1.7.称一单位金额在t时期前的值或t时期末一单位金额在现在的值为t时期现值。称a-1(t)=1/a(t)为贴现函数。定义1.8记对应利率i,称v=1/(1+i)为贴现因子。（相应的1+i称为累积因子）14定义1.9称为在时间区间的贴现率。)()()(212,21tAtAtAdtt21,tt特别:)()1()(nAnAnAdn表示第n个时期内的贴现率.与复利方式下的累积过程类似,若每个时期内的贴现率相同,则称该相同的贴现率为复贴现率.记作d.显然Nttadt1)()1(15一时期内金额的改变可以称为“利息”，也可以称为“贴现”，但两者意义不同。利息——本金基础上的增加额，在期末支付，其计算的依据为期初余额。贴现——累积值基础上的减少额，在期初支付，其计算的依据是期末余额。用利率i可以很方便地计算：利息=本金*i贴现率有类似的作用：贴现=期末值*d注:16例1假设某人A到银行以实贴现率6%借100元，为期1年，一年后A还给银行100元。则1)银行实际付给A多少元？2)这相当于利率是多少的贷款？解:1)(0)(1)(1)100(10.06)94AAd元94(1)1006.38%ii2)令定义1.10称两个贴现率或利率等价，如果对给定的投资金额，在同样长的时期内两者具有同样的累积值或现值。例：若现有面额为100元的零息债券在到期前一年的时刻价格为95元，同时，短期一年储蓄利率为5.25%，如何进行投资选择？解：从贴现的角度，零息债券的贴现率d=5%，而储蓄的贴现率，债券投资优于储蓄。从年利率的角度看，零息债券，注意到则，所以，而储蓄利率，债券投资优于储蓄。4.988%5%1idi1did1dn11in115%5.26%2019di5.25%5.26%i注：若与等价，与等价，则当且仅当。1i1d2i2d12ii12ddd与i之间的几种变形有一些有趣的字面解释：1)1/(1+i)=1-d--此方程两边均表示在期末支付1的现值。2)d=iv--本金为v产生的利息量d正好为本金v乘以利率i3）i-d=id--某人可借贷1而在期末归还1+i，也可以借贷1-d而在期末归还1。表达式i-d是所付利息的差额，此种差额是因为所借本金相差d而产生的。金额d依利率i在一时期末的利息就是id.,11diiddi4）例假设期初借款人从贷款人处借入10000元，并约定一年到期时还10500元。如果借款人希望期初时即付给贷款人利息，1年到期时偿还本金10000元，问：期初借款人实际可得金额是多少？解：贴现因子从而借款人在期初实际可得（元）。10.9524,0.047621vdivi10000(1)100009524dv201.1.4.名利率与名贴现率在实际金融业务中，常会遇到这样的说法：“年利10%,半年结算一次”、“季度复利10%”或“月度复利10%”等等。由于一年内结算次数不同产生了利率的“名不副实”，表面给定的数据10%就是名利率。定义1.11若在单位计息期内,利息依利率换算m次,则称i(m)为名利率(挂牌利率).Zmmim,21注:所谓名利率i(m)指每1/m时期支付一次的利率，也就是说，对于每1/m时期，一本金的利息是i(m)/m而不是i(m)。名利率与实利率的关系设一时期的名利率为i(m),与之等价的利率为i，则应有1+i=(1+i(m)/m)m。于是有或11)(mmimi1)1()(mmmii例.贷款人A开价年利率为9%,贷款人B开价季度复利8.75%，而贷款人C开价月度复利8.5%。某人需要为期一年的贷款，问谁的贷款好？解:对B:48.75%119.04%4i对C:128.5%118.83%12i故C的贷款好.23定义1.12每一时期支付m次的名贴现率记作d(m).表示每1/m时期支付d(m)/m的实贴现率。例.试确定100元在两年之末的累积值。A)如果名利率为季度转换6%.B)如果名贴现率为季度转换6%.解:41)6%i426%(2)100(1)112.654A42)6%d设累积值为x,则426%10014x426%1001112.854x24名利率与名贴现率之间的关系pPmmpdmii]1[]1[1)()(考虑)(mi与)(pd(1.3)如果m=p,则()()11[1]mmidmm(1.4)将(1.4)式两端同乘以（1-d(m)/m)得mdmimdmimmmm)()()()(它表明每一利息转换时期内利息与贴现的差额是因为期初本金相差d(m)/m产生的。金额d(m)/m依利率i(m)/m在该利息转换时期末的利息就是(i(m)/m)(d(m)/m)。()()111mmdim人民币存贷款利率2011年7月7日起执行项目年利率（%）活期存款0.50定期整存整取零存整取贷款三个月3.10半年3.306.10一年3.503.16.56二年4.401-3年6.65三年5.003.33-5年6.90五年5.503.55年以上7.05例(1)连续存4个三个月定期、2个半年定期和存一个一年期定期，哪一个更合算？(2)存五个一年定期和存一个五年定期的实利率分别是多少？（3）零存整取：每个月月初存入850元，存三年之后共有多少钱？解：（1）1.0311.0331.035（2）0.0350.0498（3）利息和=（0.5+6×3）×（3.3%×3）×850=1556.775本息=1556.78+12×3×850=32156.78281.1.5连续利息计算定义1.14设累积函数a(t)为t的连续可微函数,则称)()(')()('tatatAtAt(1.6)为累积函数a(t)对应的利息力函数,并称利息力函数在t时刻的值为t时刻的利息力。利息力描述利息在时刻t的运行强度，它与资金金额无关29可用δt描述A(t)或a(t)。)()0()()0()(0taataAtAdretr利息力在理论上可以随时变化。然而在实际中它经常保持为常数。如果利息力在某时间区间上为常数，则利率在此区间上也为常数。0()(1)ndtnneeani(1.9a)所以ie1或)1ln(i(1.9b)ln(1)lnln(1)ivd11()()()(ln())()[()]()limlimtmmmmatdatatdtatatid01(),()tsdsttateeate1(0)1ttt例：已知基金F以利息力函数累积，基金G以利息力函数累积，分别计算算他们的累积函数及之差达到最大的时刻T。24(0)12tttt名利率为i(m)与名贴现率为d(p)()(1)(1)(1)nnIananiAnan贴现率：)()1()(nAnAnAdn利率：单利:a(t)=1+it；复利：a(t)=(1+i)t；单贴现