利用Gibbs模型将悬点示功图转化为泵功图

利用Gibbs模型将悬点示功图转化为泵功图1.编程目的及意义泵是由柱塞、游动阀、固定阀、部分油管等几个部件构成的，泵中柱塞处的示功图称为泵功图。因为受到诸多因素的影响，在同一时刻t，悬点处的受力与柱塞的受力是不相同的；同样，在同一时刻t，悬点处的相对位移与柱塞的相对位移也不相同。因此悬点示功图与泵功图是不同的。示功图包含了很多信息，其中就有有效冲程，泵的有效冲程是指泵中柱塞在一个运动周期内真正实现从出油口排油的那段冲程。工程上一般根据示功图形状与理论示功图进行对比来判断抽油机工作状态。通过悬点示功图可以初步诊断该井的工作状况，如产量、气体影响、阀门漏液、沙堵等等。要精确诊断油井的工作状况，最好采用泵功图。然而，泵在地下深处，使用仪器测试其示功数据实现困难大、成本高。因此，需要通过建立数学模型，把悬点示功图转化为杆上任意点的示功图并最终确定泵功图，以准确诊断该井的工作状况，是一个很有价值的实际问题。将悬点示功图转化为泵功图需要大量数据计算，且存在大量重复计算步骤。因此需要使用Matlab进行编程计算，以提高运算速度及准确率。2.问题描述1966年，Gibbs给出了悬点示功图转化为地下示功图的模型，由于受计算机速度的限制，直到近些年才得以被重新重视。现有一口仅有一级杆的油井参数及悬点示功数据，可使用Gibbs模型将悬点示功图转化为泵功图。油井参数见表2-1，悬点示功图见图2-1（悬点示功图具体数据见附录1）。表2-1油井参数井号泵径（mm）泵深(m)杆长(m)杆径(mm)冲程(m)冲次(1/min)7#70793792.5223.27.6其中，含水率：98%，地面原油密度：0.864g/m3，原油体积系数：1.025。00.511.522.5310203040506070位移/m载荷/kN图2-1悬点示功图01234567800.511.522.53时间（s）位移（m）图2-2位移与时间关系曲线3.Gibbs数学模型Gibbs模型是把抽油杆住作为一根井下动态的传导线。其下端的泵作为发送器，上端的动力仪作为接收器。井下泵的工作状况以应力波的形式沿抽油杆住以声波速度传递到地面。把地面记录的资料经过数学处理，就可以定量的推断泵的工作情况。应力波在抽油杆住中的传播过程用带阻尼的波动方程来描述：ttxUcxtxattxU,,,22222（3-1）式中，U(x,t)-----抽油杆住任一截面（x处）在任意时刻t时的位移；a------应力波在抽油杆住中的传播速度；c------阻尼系数。式（3-1）为描述抽油杆住动态的基本微分方程。用以截尾傅里叶级数表示的悬点动载荷函数D(t)及光杆位移函数U(t)作为边界条件：nnnntntntD10sincos2（3-2）nnnntntntU10sincos2（3-3）因为式（3-1）中不包含抽油过程中保持不变的重力项，所以采用从悬点总载荷中减去抽油杆住重量后得到的动载荷函数D(t)作为力的边界条件。D(t)及U(t)的傅里叶系数0、n、n及0、n、n可分别用下面的公式求得：tdtntDTncos0（n=0，1，2，…n）(3-4)tdtntDTnsin0（n=1，2，…n）(3-5)tdtntUTncos0（n=0，1，2，…n）(3-6)tdtntUTnsin0（n=1，2，…n）(3-7)式中，--------曲柄角速度；T--------抽汲周期。以式（3-2）、（3-3）作为边界条件，用分离变量法解式（3-1），可的抽油杆柱任意深度x断面的位移随时间的变化关系：nnnnrtnxPtnxOxEAtxU100sincos22,（3-8）根据虎克定律：xtxUEAtxFr,,（3-9）则稠油杆柱任意深度x断面上的动载荷函数随时间的变化为：nnnnrrtnxxPtnxxOEAEAtxF10sincos2,（3-10）在t时间，x断面上的总载荷等于F(x,t)加x断面以下的抽油杆住的重量：xxchxshxxshxchKxOnnnnnnnnnnncossin（3-11）xxshxchxxchxshKxPnnnnnnnnnnnsincos（3-12）上述公式适用于单级抽油杆柱，对于多级抽油杆柱只需要做相应的扩充即可。4.模型求解步骤（1）计算悬点动载荷函数tD和位移函数tu悬点动载荷D(t)为总的光杆载荷减去抽油杆柱在油管内液体中的重力。为了计算抽油杆柱在油管内液体中的重力，首先计算地下原油密度，地下原油密度等于地面原油密度除以原油体积系数：oosorB（4-1）根据表2-1数据及式（4-1）计算求得地下原油密度为842.9268kg/m3。然后计算油管内混合流体的密度，根据模型假设条件，混合流体仅为液相，不存在气相的影响，因而环空中的混合流体为地层原油与地层水的混合，根据油井含水率，可以计算出油井中的混合流体密度为：fforwm1（4-2）最后，计算悬点动载荷函数：gLAtLtDrmr（4-3）（2）边界条件处理步骤（1）中计算出的悬点动载荷函数D(t)和测量的位移-时间函数u(t)作为Gibbs阻尼波动方程在井口的边界条件。Gibbs在解阻尼波动方程的过程中是将悬点处的动载荷函数D(t)和位移函数u(t)进行了截断的傅里叶级数的展开。因此根据截断的傅里叶级数，此步骤主要计算傅里叶级数中的傅里叶系数项。计算时将周期分为K份，因此式（3-4）至（3-7）傅里叶系数可用数值积分结果表述如下：pKnpDKKpn2cos21（n=0，1，2，…n）(4-4)pKnpDKKpn2sin21（n=1，2，…n）(4-5)pKnpuKKpn2cos21（n=0，1，2，…n）(4-6)pKnpuKKpn2sin21（n=1，2，…n）(4-7)由于所给示功数据范围为一个冲程内，包含144个点，因此取K=144。(3)计算阻尼系数阻尼系数的计算方法很多，这里采用Gibbs公式:Laccd2(4-8)其中无量纲阻尼系数dc计算公式为:90iiridvac(4-9)声速计算公式为:smEar/416.49838456101.211(4-10)(4)计算特殊系数2112ncann（n=1，2，…n）(4-11)2112ncann（n=1，2，…n）(4-12)(5)计算u(t)、D(t)中系数22nnrnnnnnEA（n=1，2，…n）（4-13）22nnrnnnnnEA（n=1，2，…n）（4-14）xxchxshxxshxchxOnnnnnnnnnnncossin（4-15）xxshxchxxchxshxPnnnnnnnnnnnsincos（4-16）xxxEAxxxEAxOnnnnnnnrnnnnnnnnrnncossinhcoshsincoshsinh'（4-17）xxxEAxxxEAxPnnnnnnnrnnnnnnnnrnnsincoshsinhcossinhcosh'（4-18）(6)计算位移函数u(t)和载荷函数D(t)nnnnrtnxPtnxOxEAtxU100sincos22,（4-19）nnnnrrtnxPtnxOEAEAtxF1''0sincos2,（4-10）5.泵功图计算及分析根据上述（1）到（6）步骤采用Matlab编写计算机程序。首先对原始数据进行预先的处理，并计算悬点的位移函数u(t)和载荷函数D(t)，将u(t)、D(t)与t(i)三个量存入Excel表格中并命名为data.xls作为Matlab程序的输入参数。然后输入各个关键参数，运行程序，即可得到泵的位移函数和载荷函数。得到的泵的位移数据和载荷数据见附录2。图5-1为运行结果。由此图可知，泵功图相对于悬点示功图向下平移了一段距离。光杆悬点示功图经过该模型的处理得到了泵功图，其消除了抽油杆柱的变形、粘滞阻尼、振动和惯性载荷等的影响，真实的反映了泵的工作状况。00.511.522.53-10010203040506070位移（m）载荷（kN）悬点示功图泵功图图5-1悬点示功图与计算泵功图对比