利用“数形结合”巧解初等数学问题

1利用“数形结合”巧解初等数学问题四川省南充市第一中学马鸣637000摘要：数形结合是初等数学中一种基本又十分重要的思想方法，常常能为解决有关初等数学问题提供一条捷径。而数与形的相互转换，相互渗透，使得某些抽象的数学问题直观化、生动化，变抽象思维为形象思维。数缺少形时少了直观，形缺少数时难入微。本文简要介绍了数形结合的概念以及在初等数学中的作用与地位，又从向量、函数、方程、不等式、集合、几何等几个方面通过具体问题来讨论了巧妙利用数形结合思想解决初等数学问题。关键词：数形结合思想方法、解题Use“TheNumberFormCombining”SmartSolutionElementaryMathematicsProblemsAbstract:Combinationoffigureandgraphisanimportantmathematicsthinkingmethodinelementarymathematicsteachingwhichcanprovideaneasywaytosomemathematicsproblems.Thetransformationandinteractionbetweenfigureandgraphmakesmathematicsmoredirectandperceptualwhichchangesabstractthinkingintoimaginalthinking.Foronlyfigurewithoutgraph,mathematicslacksdirectnesswhileonlygraphwithoutfigure,itcannotbeaccurate.Thisthesiswillintroducetheconceptofcombinationoffigureandgraphanditsfunctionandstatusinmiddleschoolmathematics,andparticularlydiscusshowtoapplythemethodintomiddleschoolmathematicsintermsofmathematicsvector,function,equation,inequalityandcollection,throughthespecificissuestotalkabouthowafewaspectstheingenioususeofseveralformcombiningideastosolvetheproblemofelementarymathematics.Keywords:Combinationoffigureandgraphthinkingmethod、solvingmathematicsproblem一、数形结合思想方法的概述1“数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件2下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。将这两个方面巧妙的结合起来，更容易反应事物的本质。数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转换；第三是正确确定参数的取值范围。转换数与形有三条途径：1）通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解；2）转化，在通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑；3）构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法。“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提出图中蕴含的数量关系，反应几何图形的内在属性。“由数化形”:就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出他们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征；“数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。二、利用数形结合思想巧解初等数学问题（一）利用数形结合思想解代数问题2代数问题往往是比较抽象的，若借助图形则可以直观的研究该问题，并且可以简化计算过程。代数中常利用数形结合思想解向量问题、函数问题、方程问题以及不等式问题。以利用数形结合思想解函数问题和方程问题为例。借助于图像研究函数的性质是一种常用的方法，函数图像的几何特征与数量3特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法，运用这种数形结合的思想有助于理解题意，探求解题思路，检验解题的结果。1、利用数形结合解函数方程根的问题例1、已知定义在R上的奇函数()fx满足(4)()fxfx，且在区间0,2上是增函数，若方程()(0)fxmm在区间8,8有四个不同的根1234,,,xxxx，则1234xxxx?分析:此题并没有告知()fx的具体解析式，我们也无法根据已知条件求出。从而我们考虑画出()fx的图像，方程()(0)fxmm的根，即是直线(0)ymm与函数()fx的图像交点的横坐标。因为定义在R上的奇函数，满足(4)()fxfx，即(4)()fxfx，所以函数关于直线2x对称且(0)0f，由(4)()fxfx知(8)()fxfx，即函数是以8为周期的周期函数，又因为()fx在区间0,2上是增函数，所以()fx在区间2,0上也是增函数。如图所示，那么方程()(0)fxmm在区间8,8上有四个不同的根1234,,,xxxx，不防设1234xxxx由对称性知1262xx，3422xx所以123412,4xxxx所以，12341248xxxxj8642-8-6-4-2yxf(x)=m(m0)O对于抽象函数，我们常常需要根据已知条件画出函数的大致图像，寻求解题思路。巧妙的利用数形结合，可以让复杂的题目简单化，明朗化。2、利用数形结合解函数单调区间问题例2、确定函数2yxxx的单调区间。4解：222(0)22(0)xxxyxxxxxx画出函数的草图，由图象可知，函数的单调递增区间为（-∞，0］，［1，＋∞），函数的单调递减区间为［0，1］。3.利用数形结合思想解方程问题例33、a为何值时，方程2222210axaxa的两根在(1,1)之内。分析：显然20a，我们可以从已知方程联想到相应的二次函数222221yaxaxa的图像与x轴的两个交点在(1,1)之间。为此，我们大致画出该二次函数的图像，如图所示。为满足要求，则必需满足条件：(1)01()02(1)0fff即222(1)0102(1)0aaa从而可解得a的取值范围为22a或22a且1a。（二）利用数形结合思想解几何问题5有些较难的几何证明题，学生看到后往往眼花缭乱，无从下手，此时借助于代数的方法，可较快地寻求到解题途径。以利用数形结合思想解平面几何问题为例。例4、过正方形ABCD定点C任作一直线与AB、AD的延长线分别交于E、F。求证4AEAFAB分析：这是形的问题，但直接从形入手较难解决，如将结论变为：2()4()AEAFABAEAF，并从其形式联想一元二次方程根的判别式，转换为数的问题就容易解决了。设,,ABaAEmAFn，连接AC由AEFAECAFCSSS得()mnamn设mnp，则mnap故m、n是方程20xpxap的两实根因为m、n为实数，且0p，由0得4pa112OyxOyxCEBDAF5即4AEAFAB上述实例无不体现“数”与“形”的结合，互相渗透。把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题互相转化，使抽象思维和形象思维有机结合；使数量关系和空间形式巧妙结合，以寻找解题思路，使问题得以解决。当然，要灵活运用数形结合的思想方法，就要熟悉某些图形背景，熟悉有关数学式中各参数的几何意义，建立结合图形思考问题的习惯，在学习中不断摸索，积累经验，加深和加强对数形结合思想方法的理解和运用。数形结合思想在初等数学的思想方法中占有非常重要的地位，应用数形结合思想解决数学问题是一种享受，数学的美得到了更充分的展现。三、数形结合思想方法在应用时应注意的问题6在解题时，有时把数转化为形，以形直观地表达数来解决，往往使复杂问题简单化、抽象问题具体化。同时也发现一个普遍的问题：一些能用“数形结合”巧解的题目，在自己做题时却想不到用“数形结合”，等老师提示后才恍然大悟，但下次再碰到却还是想不到要用“数形结合”。那么就要注意如下几个问题。（一）注意图象延伸趋势例5、判断命题：“当1a时，关于x的方程logxaax无实解。”错解：在同一坐标系中分别作出函数xya及logayx的图象（1a），可见它们没有公共点，所以方程无实解，命题正确。分析：实际上对不同的实数a，xya和logayx的图象的延伸趋势不同。例如当a=2时，方程无实数解；而当2a时，2x是方程的解。说明两图象向上延伸时，一定相交，交点在直线yx上。（二）注意图象伸展“速度”例6、比较2n与2n的大小，其中2n，且*nN。错解：在同一坐标系中分别作出函数2xy及2yx的图象。由图可知，两图象有一个公共点。当2x时，22xx当2x时，22xx当2x时，22nn；当2x，且*nN时，22nn。分析：事实上，当4n时，22nn；当5n时，22nn6错因：没有充分注意到两个图象在2x时的递增“速度”！要比较两个图象的递增速度，确实很难由图象直观而得。本题可以先猜想，后用数学归纳法证明。本题的正确答案是：222nnn当、4时，；232nnn当时，；252nnnNn当时，时，；四、结语78数形结合思想是数学思想的一个重要组成部分，它不仅在数学解题中有着强大的功能，更在数学教学中发挥着巨大的作用。“形”的直观与“数”的精确相辅相成，能优化解题，化解难点知识，学生易于理解接受。但每一种数学方法的使用都有其逻辑依据、适用范围以及步骤、细节，超出了一定的适用范围，就会出现错误。因此要一分为二地认识数形结合的思想方法。首先体现在自身使用时的局限性:首先，在数形结合思想方法的应用过程中，有些图形问题用数式处理，运算量很大，而用图形处理则直观、形象、简洁，这会使学生渐渐认为图形是万能的，这种定向思维追求过头，形成一种思维定势，有时会束缚思维的扩散，只知其一不知其二，甚至以点代面；其次，数式问题不一定存在简捷的图形背景，数形转化的通道常常很狭窄，技巧性较高，将数式转化为图形对学生来说是难点；最后，在数形结合的使用过程中还要注意考虑一些细节问题，如图形描绘显然不能达到百分百的精确，特别是较为复杂的图形，稍不小心，图形给人造成的错觉，就容易将我们局限在几何圈子里，难以完全把握住它的规律而造成误解。还有在式、形的相互转化过程中，图形是否存在，若存在又是否是等价的。另外数形结合的思想不能独立于数学知识和其它数学思想方法之外。同一数学内容可能蕴含着几种不同的数学思想方法，同一数学思想又常常分布在不同的数学知识之中。数学思想方法彼此间并非孤立，有时将它们结合起来，多管齐下，效果更好、更快。7参考文献[1]王志斌，浅谈“数形结合”，中学生数学[J],2007年第9期.[2]邱海泉，浅谈数形结合在高中数学中的应用，