南航矩阵论08-09A试卷

南京航空航天大学研究生考试试卷共5页第1页二00八～二00九学年第1学期《矩阵论》课程A卷考试日期：2009年1月13日课程编号：A000003学院学号姓名成绩一、（20分）设10214303618A，（1）求A的特征多项式和A的全部特征值；（2）求A的不变因子、初等因子和最小多项式；（3）写出A的Jordan标准形。共5页第2页二（20分）（1）设111101A，求1A，2A，A，FA；（2）设是nnC上的相容矩阵范数，证明：（i）如果A是n阶可逆矩阵，是A的任一特征值，则AA11；（ii）如果nnCP是可逆矩阵，令APPAP1，则PA是nnC上的相容矩阵范数。共5页第3页三（20分）设101010101A，221b，（1）作出A的满秩分解，计算A；（2）应用广义逆矩阵判断线性方程组bAx是否相容。若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解。（3）设A是nm实矩阵，b是m维实向量，证明：不相容线性方程组bAx的最小二乘解唯一当且仅当A列满秩。共5页第4页四（20分）设V表示实数域R上全体22上三角矩阵作成的线性空间（对矩阵的加法和数量乘法）。（1）求V的维数，并写出V的一组基；（2）在V中定义线性变换T：VXXXXT,10100011)(求T在（1）中所取基下的矩阵表示；（3）求（2）中线性变换T的值域)(TR和核)(TN，并确定他们的维数；（4）在V中能否取一组基使得（2）中线性变换T在所取基下的矩阵为对角矩阵？如果能，则取一组基；如果不能，则说明理由。共5页第5页五（20分）设)(ijaA为n阶Hermite矩阵，证明：（1）存在唯一Hermite矩阵B使得3BA；（2）如果0A，则22))(()(AtrAtr；（3）如果0A，则nAtrAtr)()(1。