利用正余弦定理解决有关距离问题

考点64利用正余弦定理解决有关距离问题1.（13江苏T18）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从沿A直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，12cos13A，3cos5C.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？LSC27【测量目标】利用正余弦定理解决有关距离问题和函数的最值问题.【难易程度】中等【试题解析】（1）在△ABC中，因为12cos13A，3cos5C，所以5sin13A，4sin5C.（步骤1）从而sinsin[π(+)]=sin(+)BACAC5312463sincoscossin13513565ACAC.（步骤2）由正弦定理sinsinABACCB,得12604sin1040(m)63sin565ACABCB所以索道AB的长为1040m.（步骤3）（2）假设乙出发mint后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050)mt，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得22212(10050)(130)2130(10050)13dtttt2200(377050)tt.（步骤4）由于10400130t剟，即08t剟，故当35(min)37t时，甲、乙两游客距离最短.（步骤5）（3）由正弦定理sinsinBCACAB，得12605sin500(m)63sin1365ACBCAB（步骤6）乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710m才能到达C.（步骤7）设乙步行的速度为vm/min，由题意得5007103350v剟，解得12506254314v剟，（步骤8）所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在1250625[,]4314（单位：m/min）范围内.（步骤9）2．（10陕西T17）如图，A，B是海面上位于东西方向相聚5（3+3）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D点需要多长时间？ZJJ50【测量目标】利用正余弦定理解决有关距离问题.【难易程度】容易【试题解析】由题意知AB=53+3（）海里，∠DBA=90°60°=30°，∠DAB=90°45°=45°，∴∠ADB=180°（45°+30°）=105°，在△ADB中，有正弦定理得sinsinDBABDABADBsin5(33)sin455(33)sin45sinsin105sin45cos60cos45sin60ABDABDBADB=53(13)103(13)2（海里）（步骤1）又30(9060)60,203DBCDBAABCBC海里，在DBC△中，由余弦定理得2222cosCDBDBCBDBCDBC=1300120021032039002CD30（海里），则需要的时间30130t（小时）.（步骤2）答：救援船到达D点需要1小时.3．（10福建T19）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.【测量目标】利用正余弦定理解决有关距离问题.【难易程度】中等【试题解析】（1）如图设小艇的速度为v，时间为t相遇，则由余弦定理得2222cosOCACOAACOAOAC，即：2224009001200cos60900600400vttttt21900()3003t,当13t时，取得最小值，此时303v.JC81（2）如图，由（1）得103,10OCAC,故OCAC,且对于线段AC上任一点P，有OCOPAC厖,而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在AC（包含C）的任意位置相遇，设(090),Rt103tanBODBODBD则在△中，，103cosOB，由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为10103tan30t和103costv，所以10103tan30103cosv，解得1533,30,sin(+30)sin(+30)2vv又故剠，从而3090,30tan由于时，取得最小„值，且最小值为33，于是当30时，10103tan30t取得最小值，且最小值为23.此时，在OAB△中，20OAOBAB，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇.JC81a4．(09福建T18)如图，某市在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数sin(0,0)yAxA，[0,4]x的图象，且图象的最高点为S(3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定120MNP（1）求A，的值和M，P两点间的距离；（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？hy64【测量目标】三角函数的图象、周期性、最值，求函数解析式，两点之间的距离，正弦定理，基本不等式．【难易程度】较难【试题解析】解法一（1）依题意，有23A，34T，（步骤1）又2πT，π6．π23sin6yx．（步骤2）当4x时，2π23sin33y．(4,3)M．（步骤3）又(8,3)P，22435MP．（步骤4）（2）在MNP△中，120MNP，5MP，设∠PMN=，则060（步骤5）由正弦定理得sin120sinsin(60)MPNPMN，103sin3NP，103sin(60)3MN．（步骤6）故10310310313sinsin(60)(sincos)33322NPMN103sin(60)3．（步骤7）060，当30时，折线段赛道MNP最长．亦即，将∠PMN设计为30时，折线段道MNP最长．（步骤8）hy65解法二：（1）同解法一．（2）在MNP△中，120MNP，MP=5，由余弦定理得2222cosMNNPMNNPMNPMP，即2225MNNPMNNP，故22()25()2MNNPMNNPMNNP„．（步骤5）从而23()254MNNP„，即1033MNNP„．（步骤6）当且仅当MNNP时，折线段道MNP最长．（步骤7）注：本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：①123943(26N，）；②123943(26N，）；③点N在线段MP的垂直平分线上等．5.（09辽宁T17）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，0.1ACkm.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，21.414，62.44）【测量目标】利用正余弦定理解决有关距离问题.【难易程度】中等【试题解析】在ABC△中，30,6030DACADCDAC.（步骤1）所以0.1CDAC又180606060BCD，（步骤2）故CB是CAD△底边AD的中垂线，所以BDBA,（步骤3）在ABC△中，sinsinABACBCAABC即sin60326sin1520ACAB（步骤4）因此，3260.33km20BD.故B，D的距离约为0.33km.（步骤5）