利用微积分证明不等式

1利用微积分证明不等式余建生指导教师:吴晓摘要对于不等式证明的方法有很多，利用微积分的知识来证明不失为一个简单易掌握的方法，本文应用微积分的有关概念、定理、典型实例，对不等式证明的微积分方法进行了探究与归纳。关键词不等式；导数；定积分引言不等式中蕴藏着丰富的数学思想和方法.例如，数形结合的思想，转化的思想，类比的思想，分类讨论思想，建模的思想.不等式同时也是高中知识的一个重要的章节，高中时就学习了很多基本的不等式证明方法.例如，求导证明，利用简单的微积分证明.不等式的证明在高等数学中占有很重要的地位，是教学的一个重点，也是学习的一个难点，本文应用微积分的有关概念，定理，结合典型实例，对不等式证明的微积分方法进行了探究与归纳.1.利用微分中值定理（拉格朗日中值定理）证明不等式定理1[1]若函数f满足如下条件：（ⅰ）f在闭区间[,]ab上连续，（ⅱ）f在开区间(,)ab内可导，则在(,)ab内至少存在一点，使得'()()()fbfafba这里没有给出的确切位置，而对于不等式而言，也不必精确.因此可用中值定理证，这时的关键是选择()fx及区间[,]ab.例1.1若0ba，试证lnabaababb.证设()lnfxx.当0ba时，()fx在[,]ba上满足拉格朗日中值定理,所以1lnln()abfab()ba,2而111ab(0)ba,1lnln1abaabb.lnlnabababab,于是lnabaababb.例1.2若x0,试证：ln(1)1xxxx.证设()ln(1)fxx(0)x,因()fx在[0,]x上满足拉格朗日中值定理,1ln(1)ln(10)ln(1)()10xxfxx所以.又111x,11111x于是1ln(1)11xxx.即ln(1)1xxxx.利用微分中值定理证明不等式时，要抓住定理的核心，在满足定理的两个条件下，主要是利用“存在一点(,)ab”，即ab来确定不等式关系，关键是根据'()()()fbfafba对照要证的不等式来确定函数()fx和区间[,]ab.2．利用函数的单调性证明不等式函数的单调性，在微积分中用导数来判定.定理2[2]设函数在区间[,]ab上可导，如果对任意的(,)xab，恒有()0fx(或()0fx)则f(x)在(,)ab内单调增加（或单调减少）.例2.1[3]证明不等式2ln(1)2xxxx，其中0()ln(1)xgxxx设.证(i)设2()ln(1)2xfxxx.3当x0时，21()1011xfxxxx.()fx在（0，+）单调减少.(0)0f又2()(0),ln(1)2xfxfxx即.(ii)()ln(1)gxxx设当101xx1x0时,g(x)=1+x,()(0,)gx在单调递减.()(0),()(0,)gxggx即在上单调减少.ln(1)0xxx即，20,ln(1)2xxxxx因此时.例2.2[4]证明：30,sin3!xxxx当时有.证设3()sin3!xfxxx=.2()cos12xfxx=.（无法判断()fx的符号）()sinfxxx又0sinxxx而时()0fx0x(只当时等号成立).()(0,)fx所以在单调增加,()(0)0fxf有,()(0,)fx在单调增加,0,()(0)0xfxf,即3sin3!xxx.利用函数的单调性证明不等式时，首先要根据不等式构造函数()yfx，这4是解题的关键.此时，只须证明()0fx或()0fx，而要证明()0fx或()0fx，首先求()fx，判断()0fx还是()0fx再使用定理.3．利用泰勒公式证明不等式一般涉及到高阶导数时可用泰勒公式（或麦克劳林公式）.定理3[1]（泰勒定理）若函数f满足如下条件：(i)在开区间(,)ab上函数f存在直到n阶导数，(ii)在闭区间[,]ab上存在f的n+1阶导数，则对任何(,)xab,至少存在一点(,)ab，使得2()()()()()()...2!fafxfafaxaxa(1)1()()()().!(1)!nnnnfafxaxann例3.1若在(,)ab内()0fx，则对(,)ab任意几个点12,,...nxxx，试证有不等式1212...1()(()()...())nnxxxffxfxfxnn.证将()fx介在120...nxxxxn展开,0xx介于与之间,有200001()()()()()()2fxfxfxxxfxx.()0fx因,000()()()()fxfxfxxx（1）对（1）式中分别取12,,...nxxx,得到000()()()()iifxfxfxxxi=1,2,…n.将上面的n个不等式两边分别相加得00011()()()()nniiiifxnfxfxxx001200()()(...)()nnfxfxxxxnxnfx011()()niifxfxn，5即1212...1()(()()...())nnxxxffxfxfxnn.例3.2设x-1,证明（i）在01,(1)1xx；(ii)在a0或a1时，(1)1xx.证设()(1)fxx,1()(1)fxx则.2()(1)(1)fxax，则()fx的麦克劳林展式为21()(0)(0)()2fxffxfx介于0与x之间.即221(1)1(1)(1)2xxx.（2）（i）01时，（2）式第三项非正.(1)1xx.(ii)在a0或a1时,（2）式第三项非负.泰勒定理的适用范围是不等式中含有的函数易求出它的泰勒展开式，从而利用它的局部展开式证明不等式.4．利用函数的凹凸性证明不等式由定义及判别法有：()fx在某区间上凹（或下凹）()0(()0)fxfx或，也即122...()[()()...()]nnxxxffxfxfxn（或122...()[()()...()]nnxxxffxfxfxn），由此可证明一些不等式，特别是含两个或两个以上变元的.例4.1[3]已知0,1,2....ixin，且123...1nxxxx.试证：123...nxxxxn.证令()ln(0)fxxx,1()fxx则，21()0fxx.()(0,)fx在下凹.61212...()[()()...()nnxxxffxfxfxn即,1212...11ln()(lnln...ln)ln10nnxxxxxxnnn,12...1nxxxn.123...nxxxxn.例4.2证明：1()(),0,0,,122nnnxyxyxyxyn证设()nfuu,2()(1)0nfunnu()(0,),fxxyxy在上凹的对,两点有,1()(()())22xyffxfy，即1()()22nnnxyxy.5.利用积分知识证明不等式性质1[3]设(),()fxgx在区间[,]ab上都是可积函数，如果在区间[,]ab上满足()()fxgx，则有()()bbaafxdxgxdx.例5.1求证2212ln(1)ln(12)xxx(1)x.证221121|121xxtdttxt,221121ln(1)|ln(1)ln(12)1xxdtttxxt.221111tttt又时，,根据性质1,121xtdtt1211xdtt.即2212ln(1)ln(12)xxx(1)x.使用性质1证明不等式时,要将不等式两端的式子表示成同一区间上两个函数的定积分，这时，只须比较这两个函数在区间上的大小，在利用定积分的性质.性质2如果()fx在[,]ab上的最大值和最小值分别为M和m，7则()()()bambafxdxMba.例5.2[2]已知()fx在x内连续，1()()(0)2xaxaFxftdtaa，设()fx在区间[,]xaxa内的最大值和最小值分别为M,m.试证：|()()|FxfxMm.证当1xaxa时,由性质2得2()2xaxamaftdtMa.()mFxM.又()mfxM()Mfxm.()()()MmFxfxMm.即|()()|FxfxMm.结语：高等数学中证明不等式的方法很多，利用微积分证明有时候可以将复杂繁冗的问题变的简单明了.本文针对微积分学中证明不等式的5种方法，进行了初步的思考与探究，并对运用某种方法给出了一定的结论.其实，对于一个不等式来说，可以用多种方法予以证明，对于一个学习数学的人来说，能够找到解决问题的最简单的方法就是好方法，而利用微积分往往能让问题变的简单起来.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1991.10.[2]尹建华.利用微积分证明不等式[J].承德民办师专学报.2001,5.第21卷2期:8-9.[3]吴江.微积分在不等式证明中的应用[J].北京市计划劳动管理干部学院学报.2001.第9卷(3期):44-46.[4]刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1992,7.TheProveOfInequationByMeamsOfCalculousAndDifferentialYuJianShengTutor,WuXiaoAbstract:Therearemanywaystoproveinequation.Itisasimplywaytousetheknowledgeofcalculousanddifferentialtoproveinequation.Thispaperisadoptedsomeconcepts,theoremsofcalculousanddifferential,andtypicalexamples,andtheconclusiontoexploreandsummarizetheproveofinequationbymeansofusingcalculousisobtained.Keywords:inequation;derivative;calculous;differential8论文题目利用微积分证明不等式院别数学与信息科学学院专业数学与应用数学年级2004级学号200424011138学生姓名余建生指导教师吴晓完成时间2008年4月毕业论文