博弈论课节3教案(2011-02-公选课)

教案3第1章纯策略博弈11课节3教学题目：（两人零和有限博弈的极大极小原理）学时数2教学目的和要求：掌握两人零和有限博弈的极大极小原理及计算方法。教学基本内容：基本概念：两人零和有限博弈基本方法：极大极小原理教学重点与难点：重点在掌握两人零和有限博弈的极大极小原理及计算方法。教学过程：1．课前复习2．讲授新课：§1.1两人有限零和博弈（矩阵博弈—MatrixGame）以策略博弈“石头－剪子－布”为例，看基本式局中人21收益值1（石头）2（剪子）3（布）1（石头）0，01，－1－1，12（剪子）－1，10，01，－13（布）1，－1－1，10，0教案3第1章纯策略博弈22其中，局中人1的策略集有123{}X，，，局中人2的策略集有123{}Y，，，策略空间CXY共有9个元素（局势）。两个局中人的收益函数可用矩阵表示为011101110A011101110BA.显然，()0ABAA.所以策略博弈“石头－剪子－布”被称作为两人有限零和博弈，被称作两人有限单矩阵博弈。简记为,,GNCA.而例1-2囚徒的困境其中，局中人A的策略集有12{}X，，局中人B的策略集有12{}Y，，策略空间CXY共有4个元素（局势）。两个局中人的收益函数可用矩阵表示为60101A61001B.显然，AB.所以策略博弈“囚徒困境”不是两人有限零和博弈，被囚徒B坦白囚徒B抗拒囚徒A坦白-6，-60，-10囚徒A抗拒-10，0-1，-1教案3第1章纯策略博弈33称作两人有限双矩阵博弈。例1-7现在，我们讨论单矩阵博弈{1,2},,GCA，其中，1231234{,,}{,,,}C，110323132334A。解：先做表，G用基本式表示：局中人21123411-1032-2-3-1-332334（第一步）如果局中人1选取他的策略1,不论局中人2选取4条中的哪一条策略,他至少可以得到:min{1,1,0,3}1.同理，局中人1选取策略2,他至少可以得到:min{2,3,1,3}3.局中人1选取策略3,他至少可以得到:min{2,3,3,4}2.在自己收益有保证的情况下,要使收益尽可能大,局中人1选取3.此时,无论局中人2选择何种策略,他至少可以有:max{1,3,2}2.教案3第1章纯策略博弈44方法：先在矩阵每一行选取一个最小值，再在三个最小值中选取最大值*v。(第二步)对局中人2而言,A是他的收益矩阵,A就是他的损失矩阵.不论局中人1取何种策略,局中人2取1234,,,策略时分别得到的最大损失为:1max{1,2,2}2；2max{1,3,3}3；3max{0,1,3}3；4max{3,3,4}4.但局中人2又希望其损失尽可能地小,即min{2,3,3,4}2所以局中人2应取策略1.方法：在矩阵每一列选取一个最大值，再在四个最大值中选取最小值*v。得到的局势31(,)后，局中人1，2的收益为(2,2)，也称作两人有限零和博弈{1,2},,GCA的值。在这种意义下得到的解31(,)也叫作零和博弈的纯策略的解，以区别后面要讲到的混合策略的解。上面的这个讨论过程可以简单地表示为:局中人1选取策略i时,其最小收益为:3414min1,2,3.()ijijjaiAa但局中人1应选取某个i,使得上述3个值中最大者:*1413max(min)ijijjivaa教案3第1章纯策略博弈55称作此博弈的下值,也称作最大最小值.同理,局中人2选取策略j时,其最大损失为:13max1,2,3,4.ijiaj局中人2应选取个j,使得上述4个值中的最小者:*min(max)ijijjivaa称作此博弈的上值,也称作最小最大值.将以上讨论汇总起来有：局中人21策略1234minmax11－103－1*2v2－2－3－1-3－3323342Max23342vMin*2v在我们的这个例子中,出现了:**maxminminmaxijijjjiivaav且**2vvv，这就是博弈均衡解的值。教案3第1章纯策略博弈66练习题1-1：某城市有甲乙两家电视台在某个黄金时间段里，甲台有三套节目可供选择播放，乙台有四套节目可供选择播放，双方都有最新的收视率统计（百分比）资料，其中，收看甲台的情况如下：局中人乙台播放甲台播放节目一节目二节目三节目四节目160203055节目250754560节目370453530为使自己的节目拥有更多的观众，甲电视台应当在黄金时间段选播哪一套节目？解：（第一步）确认该博弈的类型：两人，有限，零和博弈；（第二步）用最大最小值方法求出平衡局势（节目2，节目三）；局中人乙台播放甲台播放节目一节目二节目三节目四节目160203055节目25075456045节目37045353045教案3第1章纯策略博弈77（第三步）由平衡局势（节目2，节目三）得到博弈的值为：收看甲台的收视率为45％，博弈的解为（节目2，节目三）。平衡局势（节目2，节目三）的几何意义：鞍点（SaddlePoint）仔细观察博弈的解和博弈的值，联系大猪和小猪的博弈平衡在一个博弈G中，如果局中人仅有两个{1,2}，每个局中人的策略集中的元素是有限的：局中人1，2的策略集分别为11{,,},{,,}mnAB则称此博弈为两人有限博弈。又如果两人的收益函数分别为:,(,)(1,,,1,,):,(,)(1,,,1,,)ijijijijuABRuaimjnvABRvbimjn且满足(1,,,1,,)ijijabimjn，则该博弈G称作两人有限零和博弈。由于两人的收益函数可以只用一个矩阵表示，故两人有限零和博弈又称为单矩阵博弈。单矩阵博弈是博弈论中最简单的，也是最基本的内容。1944年，数学家VonNeumann（冯·诺伊曼）和经济学家Morgenstern（摩根斯坦）由此出发，合作奠定了博弈论的基础理论和博弈行为研究的基本思想。教案3第1章纯策略博弈88定理1-1-1设有两人有限零和博弈{1,2},,GCA，其中，收益矩阵111212122212nnmmmnmnaaaaaaAaaa,则必有不等式**1111maxminminmaxijijjnjnimimvaav.证明：{1,2,,}im,有minijijjaa于是*maxminmaxijijjiivaa由于*v为常数,**minmaxijjivav。**vv.□定理1-1-1表达了这样的一个意思:局中人1的最小收益不超过局中人2的最大损失。一个零和博弈,如果出现**vvv则称v为此博弈,,GNZA的值,对应的局势00(,)ij称作G的一个解.由于几何意义,该局势又被称作博弈G的鞍点（鞍点的问题与经济上的投入产出模型是一致的）。练习题1-2：请读者试着研究两人有限零和博弈博弈,,GNCA,其中112111011012A.教案3第1章纯策略博弈99这个博弈的解不是惟一的：11,（）和12,（）都是G的解，并且博弈的值都是1。因此，我们对两人有限零和博弈归纳为三种情况：1)**vv，博弈有唯一的解（练习题1-1）；2)**vv，博弈有多个解；（练习题1-2）；解决的方法：优超3)**vv，博弈不存在纯策略的解。（例1-1）解决的方法：引入混合策略对练习题1-2的计算有：局中人21策略1234minmax11121112110-1－1310120Max11221Min1显然，11,（）和12,（）都是G的解，并且博弈的值都是1。解有2个！教案3第1章纯策略博弈10103．课程小结：学生应当掌握的知识点：1）两人有限零和博弈的定义；2)两人有限零和博弈的最大最小原理和计算方法；3)两人有限零和博弈在出现多解的情况时的优超方法。教学方式及教学方法：课堂讲授作业及课外训练：1.练习题1-1，1-2教案小结：本教案在时间和内容上很好地达到了要求。11年3月8日