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1应力和应变应力和应变的概念可以通过考虑一个棱柱形杆的拉伸这样一个简单的方式来说明。如图1所示，一个棱柱形的杆是一个遍及它的长度方向和直轴都是恒定的横截面。在这个实例中，假设在杆的两端施加有轴向力F，并且在杆上产生了均匀的伸长或者拉紧。通过在杆上人工分割出一个垂直于其轴的截面mm，我们可以分离出杆的部分作为自由体【如图1(b)】。在左端施加有拉力P，在另一个端有一个代表杆上被移除部分作用在仍然保存的那部分的力。这些力是连续分布在横截面的，类似于静水压力在被淹没表面的连续分布。力的集度，也就是单位面积上的力，叫做应力，通常是用希腊字母𝜎来表示。假设应力在横截面上是均匀分布的【如图1(b)】，我们可以很容易的看出它的合力等于集度𝜎乘以杆的横截面积A。而且，从图1所示的物体的平衡，我们可以看出它的合力与力P必须的大小相等，方向相反。因此，我们可以得出𝜎=𝑃Ａ1等式(1)可以作为棱柱形杆上均匀应力的方程。这个等式表明应力的单位是，力除以面积。当杆被力P拉伸时，如图所示，产生的应力是拉应力；如果力在方向是相反，使杆被压缩，它们就叫做压应力。使等式(1)成立的一个必要条件是，应力𝜎必须是均匀分布在杆的横截面上。如果轴向力P作用在横截面的形心处，那么这个条件就实现了。当力P没有通过形心时，杆会发生弯曲，这就需要更复杂的分析。目前，我们假设所有的轴向力都是作用在横截面的形心处，除非有相反情况特别说明。同样，除非另有说明，一般也假设物体的质量是忽略的，如我们讨论图1的杆一样。轴向力使杆产生的全部伸长量，用希腊字母δ表示【如图1(a)】，单位长度的伸长量，或者应变，可以用等式2来决定。L是杆的总长。注意应变ε是一个无量纲的量。只要应变是在杆的长度方向均匀的，应变就可以从等式(2)中准确获得。如果杆处于拉伸状态，应变就是拉应变，代表材料的伸长或者延长；如果杆处于受压状态，那么应变就是压应变，这也就意味着杆上临近的横截面是互相靠近的。当材料的应力和应变显示的是线性关系时，也就是线弹性。这对多数固体材料来说是极其重要的性质，包括多数金属，塑料，木材，混凝土和陶瓷。处于拉伸状态下，杆的应力和应变间的线性关系可以用简单的等式𝜎=𝐸𝘀3来表示。E是比例常数，叫做材料的弹性模量。注意E和应力有同样的单位。在英国科学家托马斯•杨(1773~1829)研究杆的弹性行为之后，弹性模量有时也叫做杨氏模量。对大多数材料来说，压缩状态下的弹性模量与处于拉伸时的弹性模量的一样的。拉伸应力应变行为一个特殊材料中应力和应变的关系是通过拉伸测试来决定的。材料的试样通常是圆棒的形式，被安置在测试机上，承受拉力。当载荷增加时，测量棒上的力和棒的伸长量。力除以横截面积可以得出棒的应力，伸长量除以伸长发生方向的长度可以得出应变。通过这种方式，材料的完整应力应变图就可以得到。图1所示的是结构钢的应力应变图的典型形状，轴向应变显示在水平轴，对应的应力以纵坐标表示为曲线OABCDE。从O点到A点，应力和应变之间是直接成比例的，图形也是线性的。过了A点，应力应变间的线性关系就不存在了，因此A点处的应力叫做比例极限。随着荷载的增加，应变比应力增加的更快，直到在B点，在拉应力没有明显增大的情况下，物体也发生了相当大的伸长。这种现象叫做材料的屈服，点B处的应力叫做屈服点或者屈服应力。在区域BC材料开始具有塑性，棒也开始塑性伸长，伸长量是在比例极限处伸长量的10或者15倍。在C点，材料开始应变硬化，并且进一步的阻力，阻止载荷的增加。这样，随着进一步的伸长，应变增加，并且在D点达到最大值，或者极限应变。过了这一点，棒的拉伸伴随着载荷的减少，试样最后在图上E点断裂。在棒伸长期间，发生了侧面的收缩，导致棒的横截面积减小。这个现象在C点之前，对应力应变图没有影响，但是过了这一点，面积的减小对应力的计算值有明显的影响。棒就会发生明显的颈缩(如图2所示)，并且如果颈处狭窄部分的实际横截面积被用于计算σ，将会发现真实的应力应变曲线是虚线CE。尽管在极限应力达到之后，棒上的总荷载有实际的减小，这个减小是由于面积的减少，而不是材料强度的减小。在失效点之前，材料实际经受了应力的增加。然而，为了多数实用目的，常规的应力应变曲线OABCDE是基于试样最初的横截面积，为设计目的提供了令人满意的信息。图1的图形，画出来是为了表示应力应变曲线的一般特性。在应力应变曲线的最初区域，材料表现的既有弹性又有线性。钢材的应力应变图上的从O到A的区域就是很好的例子。紧接着大的塑性应变，明显屈服点的出现，对于在今天是很普通的结构化金属——钢材来说稍微有点独特。铝合金从线性到非线性区域是更渐渐的转变。在失效之前，钢和许多铝合金承受了更大的应变，所以被归类为易延展的。另一方面，脆性材料在很低的应变时就失效了。实例包括陶瓷，铸铁，混凝土，某些金属合金，和玻璃。圆棒的扭转让我们设想一下，一个具有圆形横截面的棒被作用在其末端的力偶扭转(如图1)。以这种方式加载的棒据称是处于纯扭转。从考虑对称性可以看出，圆棒的横截面在纵轴方向是作为刚体扭转的，半径依然是直的，横截面是圆形的。并且，如果棒扭转的总角度比较小的话，棒的长度和半径r都不会改变。在扭转期间，对应于棒的一端，棒的另一端绕着纵轴会发生扭转。例如，如果我们把棒的左端看做固定的，那么对应于棒的左端，棒的右端会旋转一个角度𝜙。同时，棒表面的纵向线例如nn，会旋转一个小的角度到位置𝑛𝑛‘。因为扭转，棒表面的矩形单元，例如图中所示的在两个横截面之间相距𝑑𝑥的单元，被扭转成长菱形。当一个杆状物承受纯扭转时，扭转角的变化率𝑑𝜙𝑑𝑥⁄沿着棒的长度方向是恒定不变的。这个常数代表单位长度的扭转角，用符合𝜃表示。这样，我们得出𝜃=𝜙/𝐿，L是轴的长度。然后，我们可以得到切应变𝛾=𝑟𝜃=𝑟𝜙𝐿⁄(1)。作用在单元边线处的切应力𝜏有图1所示的方向。对于线弹性材料，切应力大小是𝜏=𝐺𝛾=𝐺𝑟𝜃(2)。等式(1)(2)把杆状物的应变和应力与单位长度的扭转角联系起来。杆状物内部的应力表述用的方式类似于用于杆状物表面的表述方式。因为棒横截面的半径依然是直的，在扭转时没有扭曲，我们看到位于半径为ρ的圆柱体表面的内部单元，是纯剪切并伴随着对应的切应变，应力可以从下述的表达式得出𝛾=𝜌𝜃，𝜏=𝐺𝜌𝜃(3a,b)。这些等式表明，从轴心处切应力和切应变随着径向距离𝜌是线性变化的，并且在外表面达到最大值。作用在横截面的切应力，由等式(3b)给出，伴随着作用在杆状物纵向平面的相等的切应力。这个结果是从这样一个事实得到的，就是相等的切应力总是存在于相互垂直的平面。如果材料纵向受剪弱于侧向受剪(例如，木材),受扭杆状物的第一次断裂将会出现在它的纵向表面。杆状物表面的纯剪切应力的表述等效于，对于杆状物轴扭转45。的单元上的拉应力和压应力。如果一种受拉比受剪弱的材料受扭，那么材料将会沿着与轴成45。的螺旋线处以收缩的方式失效。通过扭转一支粉笔的方式就可以很容易的演示这种失效。可以建立施加的扭矩T和产生的扭转角间的关系。切应力的合力必须静定的等于合扭矩。作用在单元面积dA上的剪切力是𝜏𝑑𝐴，这个力对于棒轴的力矩是𝜏𝜌𝑑𝐴。在等式(3b)中，力矩等于𝐺𝜃𝜌2𝑑𝐴。合力矩T是整个横截面上的单元力矩的总和，因此，总和，因此，𝑇=∫𝐺𝜃𝜌2𝑑𝐴=𝐺𝜃∫𝜌2𝑑𝐴=𝐺𝜃𝐽(4),𝐽=∫𝜌2𝑑𝐴是圆截面的极惯性矩。从等式(4)我们可以得到𝜃=𝑇𝐺𝐽⁄，𝜃是单位长度的扭转角，与扭矩T成正比，与乘积𝐺𝐽是相反的，𝐺𝐽是杆的扭转刚度。梁的挠曲一根承受轴横向力的棒叫做梁。图1中的梁，一端是针状支撑，另一端的滚动支撑，叫做简支梁或者简单的梁。简支梁的本质特征是在弯曲时梁的两端可以自由转动，但是它不能够横向移动。另外，梁的一端可以沿轴向自由移动。一端是嵌入式或者固定，另一端的自由的梁，叫做悬臂梁。梁的固定端既不可以转动也不可以移动，自由端则可以转动和移动。梁上的荷载可以分为集中力，例如图1中的力𝜬，或者分布载荷，可以表述为沿着梁轴单位距离作用单位力。轴向力𝚴作用于横截面的法向，通过横截面的质心。剪力𝐕平行于横截面，弯矩𝚳作用于平面梁，被叫做合应力。剪力𝐕、弯矩𝚳和梁上荷载的关系可以表述为dMdx=𝑽(𝟏)。这个等式表示，在分布载荷(或者没有载荷)作用于梁上时，弯矩的变化率等于剪力的代数值。如果梁上作用有集中力，那么在集中力作用点剪力处，将会有突变，或者不连续。作用在梁侧面的载荷将会引起梁的挠曲。如图𝟏所示，在力𝚸作用前，梁的纵轴是直的。在弯曲后，梁的轴变成了曲线，表现为曲线𝑨𝑪𝑩，让我们假设xy平面是对称与梁的平面，并且所有的载荷都作用在平面内。那么曲线𝜜𝑪𝜝叫做梁的挠曲线，也会在平面内。从图形的几何形状可以看出𝜥=𝟏𝝆=𝒅𝜽𝒅𝒔(𝟐),𝜥是曲率，等于曲率𝝆的半径的倒数。这样，曲率𝜥等于角度𝜽在沿着挠曲线测量的长度𝒔方面的变换率。梁挠曲线的基本微分方程可以表述为𝒅𝟐𝝊𝒅𝒙𝟐=−𝜧𝜠𝜤(𝟑),𝛖是梁从初始位置的挠度。必须在每个事例中求积分来获得挠度𝝊。这个步骤包括方程的连续积分，作为结果的积分常数从梁的边界条件获得。应该明白，只有在材料适用于胡克定律并且挠曲线的斜率是很小的时候，方程(𝟑)才是有效。另一种获得梁挠度的方法是力矩面积法。这个方法得名于它利用了弯矩图的面积。当想得到挠度或者梁上一点处的斜率，而不是获得挠曲线的整个方程，这个方法是特别有用的。作用在横截面上任意一点处的正应力和切应力，可以使用方程𝝈𝒙=𝜧𝒚𝜤,𝝉=𝑽𝑸𝜤𝒃(𝟒𝒂,𝐛)，其中𝜤是在横截面中性轴方面的第二力矩(或者惯性矩)，Q是梁平面面积的第一力矩(或者静态矩)。可以看出梁外缘处正应力是最大的，在中性轴处为零；在外缘处切应力为零，在中性轴处经常达到最大。梁上的剪力V和弯矩M经常随着距离𝐱变化，距离𝐱规定是从它们作用在梁上的横截面处开始的。当设计一个梁时，非常想知道梁上所以横截面处𝐕和𝚳的值，提供这方面信息的一个很简便的方法是画一个表达它们沿着梁轴变化的图。为了画出图，我们把横截面的位置作为横坐标，把对应的剪力或者弯矩的值作为纵坐标。这样的图像叫做剪力图或者弯矩图。图1中的简支梁是静定梁中的一种。这种梁的特征的它所有的反作用力都是由静力平衡方程决定的。反作用力的数目多于静力平衡方程数目的梁叫做超静定梁。对于静定梁，我们可以通过求解静力平衡方程快速获得梁的反作用力。然而，当梁是超静定时，我们不能仅从静力方面求解解决。取而代之的是，我们必须考虑梁的挠度，并且获得相容方程作为静力方程的补充。万有用力我们是如此熟悉在地球表面上的生活，以至于需要很努力才能从心里打破我们认为理所当然的观点。我们谈论“上”和“下”，但是我们知道对于我们来说是“上”，对于世界另一边的人来说就是“下”。我们可以感受到物体很重，并且我们经常认为‘重量’是物体固定的量，但是它不总是固定的。如果你把一包一磅重的黄油带到离地球4000英里的地方，它将只有𝟏𝟒⁄磅。为什么我们把物体带到空中4000英里处，它的重量只有在地表时的𝟏𝟒⁄？理由是：所以的物体对于其他的物体都有自然的引力，这叫做万有引力。但是两个物体间吸引的程度会随着它们愈来愈远，变的愈来愈弱。一包一磅重的黄油在月球上的重量又是多少呢？在月球上，黄油和月球之间有引力，但是黄油将只有地球上重量的𝟏𝟔⁄。这是因为月球比地球小的多。物体产生的引力值取决于它自身材料的数量。因此这是我们首先需要记住的事情：物体在太空中的重量与在地球表面的重量是不同的。引力是宇宙中非常重要的一个力。每个物体都有引力，就像磁力一样。但是，不像磁力，引力不只存在于铁和钢中，在大的小的物体中都有引力。但是大的物体，例如地球，有比小的物体更强的吸引力。十七世纪最伟大的科学家，艾萨克·牛顿首先研究引力。当他是个小男孩时，经常看到苹果