搜索
质点动力学原理在解决许多动力学问题时，我们会发现质点动力学的基本定理比运动学微分方程的积分方法使用起来更方便。基本定理的重要性是建立了本体材质运动的主要的动力学特性间的可视关系。而且，为了实用目的，基本定理使我们有可能在没有从整体研究现象的情况下，研究所给现象的指定方面。现在让我们看看这些理论是如何应用在一个质点的。矢量方法是为了在没有介绍特定坐标系下将讨论的运动采用的。如图1所示，质点P位于与原点𝜊成位置矢量𝑟的点处。与𝜊点相关的点处的速度和加速度分别是𝜐=𝑟̇和𝑎=𝑟̈。如果质点的质量是m并且在力F作用下运动，那么从牛顿第二定律可以得出如下所示的运动学方程𝑀𝑟̈=𝐹(1)。如果不止一个力作用在质点上，那么力F是所有单个力的矢量和。经常假设质点的质量m是恒定的。这意味着方程(1)可以表述成下面的方程𝑑𝑑𝑡(𝑚𝜐)=𝐹(2)。矢量mυ被定义为质点的线动量。方程(2)表明线动量的变化率等于作用在质点上的合力。如果作用在质点上的合力𝐹等于0，那么可以从等式(2)得出线动量𝑚𝜐是恒定的。线动量是恒定的，方程mυ=常数被叫做线动量的守恒方程。在𝑡=𝑡0时，令质量为m的且在力F作用下的质点速度为𝜐0，在时间𝑡1令速度为𝜐1。在方程(2)两端同时乘以𝑑𝑡并进行定积分，我们得到𝑚𝜐1−𝑚𝜐0=∫𝐹𝑑𝑡(3)𝑡1𝑡0。如方程(3)所示，右边的积分是在一定时间间隔内作用力的冲量。口头上来说，方程(3)表明线动量的改变等于线冲量。在分析质点运动时，经常需要考虑的不是矢量𝑚𝜐的改变，而是力矩的改变。方程(2)与𝑟的矢积为𝑟×𝑑𝑑𝑡(𝑚𝜐)=𝑟×𝐹(4)。由于𝑑𝑟𝑑𝑡⁄=𝜐,𝑑𝑟𝑑𝑡⁄×𝑚𝜐=0，在简单的修改后，方程(4)可以重写为𝑑𝑑𝑡(𝑟×𝑚𝜐)=𝑟×𝐹(5)。表达式𝑟×𝑚𝜐叫做线动量的力矩或者质点关于点𝜊的角动量。方程式(5)表明质点关于点𝜊的角动量的变化率等于作用在质点上的合力关于点𝜊的力矩。如果力矩𝑟×𝐹等于0，那么我们得到𝑟×𝑚𝜐=常数，那就是角动量关于点𝜊的守恒方程。现在考虑一个质点在非恒定力F作用下，从位置矢量为r移动到另一个位置矢量为𝑟+𝛿𝑟。这个力将会保持恒定，这个力作用产生的无限小的功𝛿𝑤被定义为𝛿𝑤=𝐹·𝛿𝑟。在这个力作用下，质点从一些固定位置𝑟0移动到当前位置r所做的总功被定义为𝑊=∫𝐹·𝑑𝑟(6)𝑟𝑟0。总的来说，这个积分的值取决于质点从𝑟0移动到𝑟走过的路径。事实上，如果积分独立于路径，那么力就被定义成守恒的。对于这样的力，积分定义了唯一一个位置函数。对于任意的矢量𝜐，𝑑𝜐2𝑑𝑡⁄=𝑑(𝜐·𝜐)𝑑𝑡⁄=2𝜐·𝑑𝜐𝑑𝑡⁄，把方程F=mr̈替换成方程(6)，根据微分连锁律，上面的关于功的方程变为𝑊=12𝑚(𝜐22−𝜐12)(7)。12𝑚𝜐2被定义为质点的动能。口头上来说，作用在质点上的力做的功是，质点从初始位置到最终位置动能的改变量。