功-率-谱-估-计

数字信号处理——时域离散随机信号处理第三章功率谱估计3.1引言3.2经典谱估计3.3现代谱估计中的参数建模3.4AR模型谱估计方法3.5AR谱估计的异常现象及补救措施数字信号处理——时域离散随机信号处理3.1引言•功率谱定义•估计质量评价•功率谱估计的方法•本章讨论的主要内容数字信号处理——时域离散随机信号处理1、功率谱的定义•信号的功率谱和其自相关函数服从一对傅里叶变换关系mjmxxjxxmrPe)()e(dPmrnjjxxxxe)e(π21)()]()([)(*mnxnxEmrxx数字信号处理——时域离散随机信号处理对于平稳随机信号，服从各态历经定理，集合平均可以用时间平均代替)()(121lim)(*mnxnxNmrNNnNxx令l=n+m,则*j21(e)lim()()e211lim()e21NjnjlxxNnNlNjnNnNPxnexlNxnNmmnjNNnnjNmNNnmjNjxxemnxenxNmnxnxNP)()()(121lime)()(121lim)e(数字信号处理——时域离散随机信号处理2、估计质量评价•无偏性：•一致性：ˆ[]BE]ˆ[limENˆˆ[]Var[]0NE时，，数字信号处理——时域离散随机信号处理3、功率谱估计的方法•经典谱估计方法间接方法：BT法直接方法：周期图法•现代谱估计方法参数法：ARMA模型法（AR模型、MA模型、ARMA模型）非参数法：谐波分解法、多分量法数字信号处理——时域离散随机信号处理（1）经典谱估计方法•BT法：先按照有限个观测数据估计自相关函数，再计算功率谱；•周期图法：直接对观测数据进行处理，计算功率谱。•经典谱估计方法的特点：都采用傅里叶变换方法，物理概念比较清楚；频率分辨率低；估计量的方差和分辨率是一对矛盾。数字信号处理——时域离散随机信号处理（2）现代谱估计方法•以信号模型为基础，估计功率谱的问题转化成由观测数据估计信号模型参数的问题。•现代谱估计方法的特点：频率分辨率较经典法高；缺乏如何选择信号模型的理论指导。数字信号处理——时域离散随机信号处理4、本章讨论的主要内容•主要内容：BT法、周期图法、改进的周期图法；AR模型法•分析方法：介绍几种估计方法的原理，分析讨论其估计性能，介绍具体估计方法。数字信号处理——时域离散随机信号处理3.2经典谱估计•BT法•周期图法•改进的周期图法数字信号处理——时域离散随机信号处理3.2.1BT法•BT法是先估计自相关函数,然后进行傅里叶变换得到功率谱。•有偏自相关函数估计的误差相对较小，是一种渐近一致估计：1||0*)()(1)(ˆmNnxxmnxnxNmr-BTˆˆ(e)()ejjωmxxmPrm数字信号处理——时域离散随机信号处理BT法的加权协方差谱估计1-BT(1)ˆˆ(e)()eMjjωmxxmMPrmwm式中0)()(mwmw-(M-1)≤m≤(M-1)其它,M≤N窗函数w(m)的傅里叶变换必须是非负的。数字信号处理——时域离散随机信号处理3.2.2周期图法周期图法定义如下:212j-j011ˆ(e)()eNnjxxnPxnXeNN观测数据x(n)FFT取模的平方1/NPxx(ej)^数字信号处理——时域离散随机信号处理1.周期图与BT2101111**()00001ˆ(e)()e11()e()e()()eNjjnxxnNNNNjkjnjknknknPxnNxkxnxkxnNN令m=k-n,即k=m+n，则1*01j(1)1(1)BTˆ(e)eeˆ(e1()()ˆ())NjmxxmNmnxNNjmmxNjPPxnxmnNrm利用有偏自相关函数的BT法和周期图法是等价的。数字信号处理——时域离散随机信号处理2.周期图法谱估计质量分析1）1j-j(1)1-j(1)-jˆ()||(ˆ[(e)]ee()()e)NmxxmNNmmNmxxBxmxxxErmNmrEPwmrmmN其它0||||)(NmNmNmwB式中数字信号处理——时域离散随机信号处理上式在频域表示为：j-1ˆ[(e)](e)ed2πjjxxBxxEPWPΩ式中)]([)e(mrFTPxxjxx2)2/sin()2/sin(1)]([)e(NNmwFTWBjB周期图的统计平均值等于它的真值卷积三角谱窗函数，因此周期图是有偏估计，但当N→∞时，wB(m)→1，三角谱窗函数趋近于δ函数，周期图的统计平均值趋于它的真值，因此周期图属于渐近无偏估计。数字信号处理——时域离散随机信号处理2）周期图的方差11j2*j-j002211()|(e)|()()eevar[()][()][()]NNknNnkNNNIXxkxnNNIEIEI周期图的均值*-j()1[()][()()]()()en-kNNNnkEIExnxkRnRkN为分析简单起见，假设x(n)是实的零均值的正态白噪声信号，方差是sx2，即功率谱是常数sx2，其周期图用IN()表示，N表示观测数据的长度。数字信号处理——时域离散随机信号处理式中*2[()()]()()1()0xxxExnxkrnknknknknks22221[()]()()NNxxNnnEIRnRnNNss因为这里由于对信号作了实白噪声的假设，才有无偏估计的结果。数字信号处理——时域离散随机信号处理)(j-)(j-22j2j2212121ee)]()()()([)()()()(1)e()e(1)]()([qpknNNNqNpknNNNNqxpxkxnxEqRpRkRnRNXXNEIIE利用正态白噪声、多元正态随机变量的多阶矩公式，有[()()()()][()()][()()][()()][()()][()()][()()]ExnxkxpxqExnxkExpxqExnxpExkxqExnxqExkxp4,;,;,[()()()()]0xknpqpnqkqnpkExnxkxpxqs其它周期图的均方值数字信号处理——时域离散随机信号处理将上式代入周期图的均方值公式中，得到22121221214101010))((10))((224212/)sin(2/)sin(2/)sin(2/)sin(1ee)]()([2121ssNNNNNNIIExNnNnNkn-kjNkn-kjxNN将ω=ω1=ω2代入上式，得到224sin()[()]2sin()NxNEINs数字信号处理——时域离散随机信号处理信号的功率谱真值是sx2,说明周期图的方差很大，周期图的均方误差也非常大。用这种方法估计的功率谱在sx2附近起伏很大，故周期图是非一致估计，是一种很差的功率谱估计方法。244sin()var[()]1sin()limvar[()]NxNxNNINIss图3.1.1白噪声的周期图01235432100123543210Pxx(ej)Pxx(ej)54321001230123543210Pxx(ej)Pxx(ej)//(a)(b)//(c)(d)N＝32N＝64N＝256N＝128数字信号处理——时域离散随机信号处理3.2.3经典谱估计方法改进•平均周期图法•窗口处理法平均周期图•Welch法（修正的周期图求平均法）数字信号处理——时域离散随机信号处理•存在问题：BT法和周期图法估计功率谱都不是一致估计，频率分辨率低。•解决方法：对周期图进行修正，使其满足一致估计条件。可以采用平滑处理的方法，使其方差减小。数字信号处理——时域离散随机信号处理1.平均周期图法•主要思想：对序列x(n)进行L次独立观测或将其分成L段，计算每组观测数据的周期图，再将L个周期图加和后求平均。LiixxILP1j)(1)e(ˆ数字信号处理——时域离散随机信号处理假设随机信号x(n)的观测数据区间为：0≤n≤M-1，共进行了L次独立观测，得到L组记录数据，每一组记录数据用xi(n),i=1,2,3,…,L表示；或对长为N的数据x(n)分成L段，每段有M个数据，N=LM，第i段数据表示为xi(n)=x(n+iM-M)。第i组的周期图用下式表示：210)(1)(MnnjiienxMI估计方法：数字信号处理——时域离散随机信号处理将得到的L个周期图进行平均，作为信号x(n)的功率谱估计，公式如下：LiixxILP1j)(1)e(ˆ数字信号处理——时域离散随机信号处理偏移分析：j1πjj(-)-π1ˆ[(e)]E()E()1(e)(e)2πLxxiiiBxxEPIILWPd估计效果分析：21sin(/2)(e)[()]sin(/2)jBBMWFTwmM平均周期图仍然是有偏估计，偏移和每一段的数据个数M有关，由于往往MN，偏移更大；偏移的大小反映分辨率的高低。数字信号处理——时域离散随机信号处理方差分析：)](var[1)]e(ˆvar[ijxxILP平均周期图的估计方差是周期图的方差的1/L，L越大方差越小，功率谱越平滑；相应的，M越小，偏移越大，分辨率越低；估计的均方误差也减少；以分辨率的降低换取了估计方差的减少，估计量的方差和分辨率是一对矛盾。图4.2.3平均周期图法（丁）Pxx(ej)/032101230321012303210123Pxx(ej)/Pxx(ej)/(a)(b)(c)N＝256，L＝2N＝256，L＝4N＝256，L＝8数字信号处理——时域离散随机信号处理2、窗口处理法平均周期图•主要思想：用一适当的功率谱窗函数W(ejω)与周期图进行卷积，来达到使周期图平滑的目的的。ˆ(e)()(e)jjxxNPIW()0jWe其中，数字信号处理——时域离散随机信号处理π()1ˆ(e)()(e)()(e)d2πjjjxxNNPIWIW式中mxxNNmNmrIj-1)1(e)(ˆ)(de)e(π21)(jjππnWnw-(M-1)≤n≤M-1估计方法：那么mxxMMmjxxemwmrPj1)1()()(ˆ)e(ˆ周期图的窗函数法就是前面BT法的加权协方差谱估计。数字信号处理——时域离散随机信号处理mxxMMmxxmwmrEPEj-1)1(je)()](ˆ[)]e(ˆ[又1j-j(1)ˆ[()]()()()eMmxxxxBmMEPermwmwm偏移分析：估计效果分析：||ˆ[()]()()()xxxxxxBNmErmrmrmwmN可得周期图的窗函数法仍然是有偏估计,其偏移和wB(m)、w(m)两个窗函数有关。数字信号处理——时域离散随机信号处理如果w(m)窗的宽度比较窄，M比N小得多，这样|m|N，则wB(m)~1,d)e()e(π