历年真题全解3

二历年真题全解一、填空题1.(1995年数学三)设nXXX,,,21是来自正态总体),(2N的简单随机样本，其中参数和2未知，记2121)(,1niiniiXXQXnX，则假设0:0H的t检验使用统计量t答案是：.)1(nnQX分析t统计量定义为,nSXt这里,11)(11,02212QnXXnSnii代入t统计量得.)1(nnQXnSXt二计算与证明题1.（1998年数学一（4分））设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机的抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体成绩的平均成绩为70分？并给出检验过程.附表：t分布表pntntPp)}()({0.950.975351.68972.0301361.68832.0281分析本题附表事实上给出提示信息应用t检验：).1(~ntnsX设该次考生的成绩为X，则),(~2NX，把从X中抽取得容量为n的样本均值记为X，样本标准差记为S，则本题是在显著性水平05.0下检验假设.,70:,70:10HH拒绝域为).1(7021ntnSxt由,0301.2)136(,15,5.66,36975.0tSxn算得.0301.24.13615705.66t所以接受假设70:0H，即在显著性水平05.0下，可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.四、精选练习题与详细解答7.2设ˆ是参数的无偏估计量，且.0)ˆ(D证明：2ˆ不是2的无偏估计量.证由公式,))(()()(22XEXDXE有.)ˆ())ˆ(()ˆ()ˆ(2222DEDE因此2ˆ不是2的无偏估计量.7.3设随机变量nxxx,,,21是来自正态分布),(2N的一个样本，适当选择常数c，使2111)(niiixxc为2的无偏估计.解方法一由于11212121112)2()(niiiiiniiixxxxEcxxcE=])())(((2)([112121niiiiixExxExEc=,)1(2]))(()([221122nincXEXEc因此.)1(21nc方法二令iixxY1，则).2,0(~2NY由2221121122)1()))(()()(1()(ncYEYDncYEcYcEnini，因此.)1(21nc7.4设nxxx,,,21是取自总体),(~2NX的样本，试证212)(11niixxnS是2的相合估计量.证由于)1(~)1(222nSn，并且有22)(SE，.12)1(2)1()(4242nnnSD根据切比雪夫不等式有242222)1(21)(1}{nSDSP，即得.1}{lim22SPn所以2S是2的相合估计量.7.5设),0(~UX，0，求的最大似然估计量及矩估计量.解由于),0(~UX，,0,0,1);(其他，xxp有其他。，,00,1);()(1innixxpL),2,1(ni又因为0,所以)(L随着减小而增大.但}{max1inix,故取}{maxˆ1inix为的最大似然估计量.,2)(XE.11niixnx由x2,故x2ˆ为的矩估计量.7.7设总体X在],[21上服从均匀分布,21,未知.试由样本nxxx,,,21,求1与2的矩估计量与最大似然估计量.解2)(2121XE,.4)(12)ˆ())(()()(221212222XEXDXE令x1ˆ,niixn1221ˆ,即)ˆˆ(2121x,,2ˆˆ,12)ˆˆ(121221212xxxnnii,)(1112)ˆˆ(2222212niiSxxnxxn,32ˆˆ21nS解得1与2的矩估计量为nSx3ˆ1,.3ˆ1nSx由X的密度函数其他,0,,1),;(211221xxp知1与2的似然函数为其他，,0.,,2,1,,1),(211221nixLn似然方程为,0ln,0ln122121nLnL从似然方程不可能解得1与2的最大似然估计量.现在我们可直接从最大似然原理出发来确定1与2的最大似然估计量.我们知道,欲使似然函数非零,必须要求:.,,2,1,21nix从而},,,,min{21*11nxxxx}.,,,max{21*1nnxxxx由于,11),(*1*1221nnnxxL今取},,,,min{ˆ21*11nxxxx}.,,,max{ˆ21*2nnxxxx则有).ˆ,ˆ(),(2121LL故得1与2的最大似然估计量分别为},,,,min{ˆ21*11nxxxx}.,,,max{ˆ21*2nnxxxx7.9(钓鱼问题)设湖中有鱼N条现钓出r条作上记号后方回湖中.一段时间后,再钓出s条(rs设),结果其中有t条)0(rt标有记号.试根据此中信息,估计湖中鱼数N的值.解这是个典型的统计故值问题.钓出s条,其中标有记号的鱼数应是个随机变量,记为X.显然X只可能取r,,1,0这1r个值,现tX,且),,(}{NtLCCCtXPsNtsrNtr其中N为未知参数.今钓出s条即已出现t条,则我们认为N应该使得}{tXP最大,即取Nˆ,使得).,(max)ˆ,(NtLNtLN为具体确定N,我们考虑比值sNtsrNsNtsrNsNtsrNtrsNtsrNtrCCCCCCCCCCNtLNtLNtR1111)1,(),(),(=.)())((22NtNsNrNrsNsNrNtsrNNsNrN从上式可见,当时,Ntrs时,,1),(NtR当Ntrs时,1),(NtR.故当trsN时,),(NtL是N的上升函数;当trsN时,),(NtL是N的下降函数.由于N是正整数,故取][ˆtrsN(trs的整数部分)作为N的估计.从直观上看,湖中有标记的鱼的比例和钓出的s条鱼中有标记的鱼所占的比例似应相一致,即,::stNr因而有.ˆtrsN上面的估计正好与此直观的结果相符,而这也说明了最大似然估计的合理性.7.12设21ˆ,ˆ是参数的二个相互独立的无偏估计量，且设).ˆ(2)ˆ(21DD找出常数21,kk，使2211ˆˆkk也是的无偏估计量，并且使它在所有这些形状的估计量中方差最小.解因为)ˆ()ˆ(21EE，所以)()ˆˆ(212211kkkkE，欲使)ˆˆ(2211kkE，只须121kk.又因为21ˆˆ与相互独立，).ˆ(2)ˆ(21DD故).ˆ()2()ˆ()ˆ()ˆˆ(222212221212211DkkDkDkkkD欲使)ˆˆ(2211kkD为最小，只须21212221)1(22kkkkS为最小。,026,0)1(241111kkkdkdS得.32,3121kk7.13设随机变量X在],0(上均匀分布，nxxx,,,21是来自X的样本.令},,,,min{},,,,max{21)1(21)(nnnxxxXxxxX试证)1(2)(1)1(ˆ,1ˆXnXnnn都是的无偏估计量，并且1ˆ较2ˆ有效.解X的密度函数与分布函数分别是其他，，,00,1)(xxp,0,1,0,,0,0)(xxxxxF可知)(nX的分布函数为)1(,)]([)(XxFxFnn的分布函数为nxFxF)](1[1)(1，从而它们的密度函数分别为其他，,0,0,)()]([)()(11xxnxpxFnxFxpnnnnn其他，）（,0,0,1)()](1[)()(1111xxnxpxFnxFxpnn故,1)(01)(nndxnxxXEnnndyyynxydxxnxXEnn11001)1()1()1()(=,1)!1()!1(!1)2()()2(),2(nnnnnnnnBn,2)(2010122)(nnnxdxnxxXEnnnnn101221022)1()1()1()(dyyynxydxxxXEnn=)3()()3(),3(22nnnnBn=,)2)(1(2)!2()!1(!222nnnnn2)(2)()()]([][)(nnnXEXEXD=,)1)(2()1(2222222nnnnnnn2)1(2)1()1()]([][)(XEXEXD=,)1)(2()1()2)(1(222222nnnnnn于是,11)(1]1[)ˆ()()(1nnnnXEnnXnnEEnn,1)1()()1(])1[()ˆ()1()1(2nnnXEnXnEE即1ˆ与2ˆ均是无偏估计.又,)2()1)(2()1()()1(]1[)ˆ(22222)(22)(1nnnnnnnXDnnXnnDDnn,)2()1)(2()1()()1(])1[()ˆ(2222)1(2)1(2nnnnnnXDnXnDD可见).ˆ()ˆ(21DD当2n时，),ˆ()ˆ(21DD，并且1ˆ较2ˆ有效.