参数方程的意义

参数方程的意义普通高中课程标准实验教科书选修4-4（新课导入片断）坐标系的思想是17世纪著名哲学家、数学家笛卡儿在以前的一些朴素的的思想和零星的问题中比较系统地提出来的．笛卡儿的工作标志着数学的发展进入了一个新的时代，为牛顿—莱布尼兹创立微积分和近代数学的发展奠定了基础．实际上，坐标系不仅仅是解析几何的基础，也是研究其他几何问题、函数问题、方程问题等等的基础．坐标系的思想是现代数学最重要的基本思想之一，它是联系几何与代数的桥梁，充分地反映了数形结合的思想，它可以给出几何问题的代数表示，也可以给出代数问题的几何背景．T：现在我们这样建立平面直角坐标系，每一个同学对应着第一象限的一个格点，第一排同学的纵坐标是1,第一列同学的横坐标是1，相邻两个同学的间距是1个单位．下面，我就按坐标来提问．首先请(1,2)同学回答你对应的点到原点的距离是多少?S(1,2):5T:请(3,3)同学计算经过你和第一位同学对应的点的直线斜率.S(3,3):21k斜率T:(5,4)同学,你对应的点在刚才两点所确定的直线上吗?为什么?S(5,4):在!因为刚才两点确定的直线l:即x-2y+3=0经过点(5,4).)1(212xyT:完全正确!下面大家猜猜我该提问谁了?(学生先茫然，后议论纷纷)T:回想一下,我第1次喊的是(1,2),第2次喊的是(3,3),第3次喊的是(5,4),那么第4次该论到谁呢?如果猜出来了,大家都向她瞧!(逐渐地,有人把目光投向(7,5)同学,接着她自己站起来了).T:为什么是你呢?S(7,5):因为点(7,5)在直线x-2y+3=0上.T:该直线上不止一个整点，为什么轮到(7,5)呢?S(6,1):横坐标是连续的奇数,纵坐标是从2开始的自然数.T：很好！再想一想，为什么第4次轮到(7,5)?照此规律，我第8次又该喊谁呢?请考虑一下横坐标和纵坐标分别与我喊的序号有什么关系?S(4,3)：纵坐标是序号加1,横坐标是第“序号”个奇数.T:能用数学语言来表示吗?S(2,4)：设序号为n,则x=2n-1,y=n+1.也就是说x，y分别是n的函数.S(2,6)：因为前几个同学对应的点的横、纵坐标分别是公差为2和1的等差数列.在刚才的讨论中,我们发现x与y的关系不明显,但它们都是变数n的函数,而变数n既沟通了x与y的联系,又刻画了动点的运动规律,功不可没!我们还不难发现,当变数n在正整数集合中取值时,点(x,y)的轨迹是直线x-2y+3=0上孤立的点列;当n在实数集合中取值时,点(x,y)的轨迹是直线x-2y+3=0.也就是说，直线l:x-2y+3=0上任意一点的坐标都是某个变数t的函数:并且对于每一个实数t,由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在直线l上.(1)112tytx方程组表示直线.我们把它叫做直线的参数方程,t叫做参变数,简称为参数.(x-2y+3=0叫做普通方程))(112是变量　　ttytx结论T：直线的参数方程，你还能写出别的曲线的参数方程吗？单位圆上的点能用一个变量来表示吗？你能写出单位圆的参数方程吗？x＝cosαy＝sinα你能写出单位圆的方程吗？单位圆的参数方程x2＋y2＝1抛以C(a,b)为圆心，r为半径的圆呢？例1求椭圆的参数方程例2求炮弹运行轨迹的参数方程．(略)参数的作用：沟通动点坐标的联系,刻画动点运动的规律.一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点M的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数，反过来，对于t的每个允许的值，由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在曲线C上，那么，方程组(1)叫做曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称为参数．x＝f(t)y＝g(t)(1)椭圆画通过本节课的学习，你有什么收获或体会？x＝tcosθy＝tsinθ(θ是参数)参数方程与x＝tcosθy＝tsinθ(t是参数)表示的曲线一样吗？思考小结参数方程是学生第一次接触的新概念,如何从学生原有的认知结构出发,创设情景,让学生参与概念的产生和发展过程,从中领悟参数的作用以及建立参数方程的可能性和必要性,就显得十分重要.本节课概念引入的设计贴近学生实际,从学生熟悉的知识出发,引导学生积极思维去探索未知问题的规律,认识概念的内涵,留下了较深刻的印象,取得较好的效果.