双曲线教案

细节决定未来授课教案学员姓名：__________授课教师：_所授科目：学员年级：__________上课时间：___年__月___日___时___分至___时___分共___小时教学标题双曲线教学目标熟练掌握：教学重难点重点掌握：考点内容：上次作业检查正确数：正确率：问题描述：授课内容：双曲线一、基础知识回顾1.双曲线的定义（1）第一定义：当21212||FFaPFPF时,P的轨迹为双曲线;当21212||FFaPFPF时,P的轨迹不存在;当21212||FFaPFPF时,P的轨迹为以21FF、为端点的两条射线（2）双曲线的第二义:;（双曲线上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.解析：平面内到定点F与定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比是常数e(1e)的点的轨迹为双曲线2.双曲线的标准方程与几何性质标准方程)0,(12222babyax)0,(12222babxay性质焦点)0,(),0,(cc，),0(),,0(cc焦距c2范围Ryax,||Rxay,||顶点)0,(),0,(aa),0(),,0(aa对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率(1,)cea准线cax2cay2渐近线xabyxbaybyax共渐近线的双曲线系方程为：)0(2222byax与双曲线12222byax共轭的双曲线为22221yxba等轴双曲线222ayx的渐近线方程为xy，离心率为2e.；二、典型例题分析例1、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）.解：如图8—17，建立直角坐标系xOy，使A圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC′、BB′平行于x轴，且CC=13×2(m)，BB=25×2(m).设双曲线的方程为12222byax（a0,b0）令点C的坐标为（13，y），则点B的坐标为（25，y－55）.因为点B、C在双曲线上，所以,1)55(12252222by.112132222by解方程组(2)11213(1)1)55(122522222222byby由方程（2）得by125（负值舍去）.代入方程（1）得,1)55125(12252222bb化简得19b2+275b－18150=0（3）解方程（3）得b≈25(m).所以所求双曲线方程为：.162514422yx例2.ABC中，固定底边BC，让顶点A移动，已知4BC，且ABCsin21sinsin，求顶点A的轨迹方程．解：取BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，因为4BC，所以B(0,2)，)0,2(c．利用正弦定理，从条件得2421bc，即2ACAB．由双曲线定义知，点A的轨迹是B、C为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为32的双曲线右支，点(1，0)除外，yx(1x)．例3：已知双曲线)0,0(12222babyax的一条渐近线方程为xy3，两条准线的距离为l.（1）求双曲线的方程；（2）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N，点P为双曲线上异于M、N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求kPM·kPN的值.（1）解：依题意有：.3,1,,12,3222222bacbacaab解得可得双曲线方程为.1322yx（2）解：设).,(,),,(0000yxNyxM可得由双曲线的对称性,33,33,13.),,(22202020202022020000PPPPPPPPPNPMPPxyxyyxxxyyxxyyxxyykkyxP同理所以又则设所以.33333202202xxxxkkPPPNPM例4.设双曲线C：1222yx的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q。（1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且121QAPA，求点T的坐标；（2）求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程；（3）过点F（1，0）作直线l与（Ⅱ）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设FBFA，若||],1,2[TBTA求（T为（Ⅰ）中的点）的取值范围。细节决定未来解：（1）由题，得)0,2(),0,2(21AA，设),(),,(0000yxQyxP则).,2(),,2(002001yxQAyxPA由.3,1212020202021yxyxQAPA即…………①又),(00yxP在双曲线上，则.122020yx…………②联立①、②，解得20x由题意，.2,000xx∴点T的坐标为（2，0）…………3分（2）设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为（x，y）由A1、P、M三点共线，得)2()2(00xyyx…………③…………1分由A2、Q、M三点共线，得)2()2(00xyyx…………④…………1分联立③、④，解得.2,200xyyxx…………1分∵),(00yxP在双曲线上，∴.1)2(2)2(22xyx∴轨迹E的方程为).0,0(1222yxyx…………1分（3）容易验证直线l的斜率不为0。故可设直线l的方程为12122yxkyx，代入中，得.024)2(22kyyk设00),,(),,(212211yyyxByxA且则由根与系数的关系，得22221kkyy……⑤.22221kyy……⑥…………2分细节决定未来∵，FBFA∴有.021，且yy将⑤式平方除以⑥式，得242124222222221kkkkyyyy…………1分由0212125]1,2[.72072024212222kkkk…………1分∵).,4(),,2(),,2(21212211yyxxTBTAyxTByxTA又.2)1(42)(4,22222121221kkyykxxkkyy故2212212)()4(||yyxxTBTA222222222222)2(8)2(28)2(16)2(4)2()1(15kkkkkkk222)2(822816kk令720.2122kkt∴21211672k，即].21,167[t∴.217)47(816288)(||222ttttfTBTA而]21,167[t，∴].32169,4[)(tf∴].8213,2[||TBTA变式训练4：已知中心在原点，左、右顶点A1、A2在x轴上，离心率为321的双曲线C经过点P（6,6），动直线l经过△A1PA2的重心G与双曲线C交于不同两点M、N，Q为线段MN的中点.（1）求双曲线C的标准方程（2）当直线l的斜率为何值时，022PAQA。本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系，以及直线与细节决定未来双曲线的位置关系。解（1）设双曲线C的方程为0,012222babyax,34,37,37,321222222ababaee即又P（6,6）在双曲线C上，1363622ba由①、②解得.12,922ba所以双曲线C的方程为112922yx。（2）由双曲线C的方程可得6,6P,0,3,0,321又AA所以△A1PA2的重点G（2,2）设直线l的方程为22xky代入C的方程，整理得002211222,,,,,0421211234yxQyxNyxMkkxkkxk又设11263116,1,0.1263183,2.431822;4316222220020022102222kkkkkPAQAkkkxykkkkxkykkkxxxQAPAQAPA整理得041032kk解得3135k由③，可得016854803422kkk解得332,54645464kk且由④、⑤，得3135k①②②③③②④②⑤③②细节决定未来三、真题演练例1.（2008）已知双同线2222:1(0,0)xyCabab的两个焦点为:(2,0),:(2,0),(3,7)FFP点在曲线C上.（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）记O为坐标原点，过点0,2Q的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为22,求直线l的方程本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基础知识，考查待写系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力.（满分13分）解：(Ⅰ)解法1：依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为142222ayax（0＜a2＜4，将点（3，7）代入上式，得147922aa.解得a2=18（舍去）或a2＝2，故所求双曲线方程为.12222yx解法2：依题意得，双曲线的半焦距c=2.2a=|PF1|－|PF2|=,22)7()23()7()23(2222∴a2=2，b2=c2－a2=2.∴双曲线C的方程为.12222yx(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6=0.∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,∴,33,10)1(64)4(,01222＜＜，＞kkkkk∴k∈(－1,3)∪(1,3).(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=,16,142212kxxkk于是|EF|=2212221221))(1()()(xxkyyxx=|1|32214)(1222212212kkkxxxxk而原点O到直线l的距离d＝212k,∴SΔOEF=.|1|322|1|32211221||21222222kkkkkkEFd若SΔOEF＝22，即,0222|1|3222422kkkk解得k=±2,满足②.故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=22x和.22xy解法2：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6＝0.①∵直线l与比曲线C相交于不同的两点E、F，∴.33,10)1(64)4(,01222＜＜，＞kkkkk∴k∈(－1,3)∪(1,3).②设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得|x1－x2|＝|1|322|1|4)(22221221kkkxxxx.③当E、F在同一支上时（如图1所示），SΔOEF＝|SΔOQF－SΔOQE|=||||21||||||||212121xxOQxxOQ；、F在不同支上时（如图2所示），SΔOEF＝SΔOQF＋SΔOQE＝.||||21|)||(|||212121xxOQxxOQ综上得SΔOEF＝||||2121xxOQ