动态规划法解决01背包

算法设计与分析--01背包问题问题描述：给定N中物品和一个背包。物品i的重量是Wi,其价值位Vi，背包的容量为C。问应该如何选择装入背包的物品，使得转入背包的物品的总价值为最大？在选择物品的时候，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能讲物品i装入多次，也不能只装入物品的一部分。因此，该问题被称为0-1背包问题。问题分析：令V(i,j)表示在前i(1=i=n)个物品中能够装入容量为j(1=j=C)的背包中的物品的最大价值，则可以得到如下的动态规划函数:(1)V(i,0)=V(0,j)=0(2)V(i,j)=V(i-1,j)jwiV(i,j)=max{V(i-1,j),V(i-1,j-wi)+vi)}jwi(1)式表明：如果第i个物品的重量大于背包的容量，则装人前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价是相同的，即物品i不能装入背包；第(2)个式子表明:如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有以下两种情况：(a)如果把第i个物品装入背包，则背包物品的价值等于第i-1个物品装入容量位j-wi的背包中的价值加上第i个物品的价值vi;(b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。显然，取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。1#includestdio.h3intV[200][200];//前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值4intmax(inta,intb)5{6if(a=b)7returna;8elsereturnb;9}1011intKnapSack(intn,intw[],intv[],intx[],intC)12{13inti,j;//式子（1）14for(i=0;i=n;i++)15V[i][0]=0;16for(j=0;j=C;j++)17V[0][j]=0;//式子（2）18for(i=0;i=n-1;i++)19for(j=0;j=C;j++)20if(jw[i])21V[i][j]=V[i-1][j];22else23V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]);24j=C;25for(i=n-1;i=0;i--)26{27if(V[i][j]V[i-1][j])28{29x[i]=1;30j=j-w[i];31}32else33x[i]=0;34}35printf(选中的物品是:\n);36for(i=0;in;i++)37printf(%d,x[i]);38printf(\n);39returnV[n-1][C];4041}4243voidmain()44{45ints;//获得的最大价值46intw[15];//物品的重量47intv[15];//物品的价值48intx[15];//物品的选取状态49intn,i;50intC;//背包最大容量51n=5;52printf(请输入背包的最大容量:\n);53scanf(%d,&C);5455printf(输入物品数:\n);56scanf(%d,&n);57printf(请分别输入物品的重量:\n);58for(i=0;in;i++)59scanf(%d,&w[i]);6061printf(请分别输入物品的价值:\n);62for(i=0;in;i++)63scanf(%d,&v[i]);6465s=KnapSack(n,w,v,x,C);6667printf(最大物品价值为:\n);68printf(%d\n,s);697071}