反比例函数全面总复习

反比例函数全面总复习第一部分：基础复习九年级数学(上)第五章：反比例函数一、中考要求：1．经历在具体问题中探索数量关系和变化规律的过程，抽象出反比例函数的概念，并结合具体情境领会反比例函数作为一种数学模型的意义．2．能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式探索并理解反比例函数的主要性质．3．逐步提高观察和归纳分析能力，体验数形结合的数学思想方法．4．能依据已知条件确定反比例函数，·领悟用函数观点解决某些实际问题的基本思路．二、中考卷研究(一)中考对知识点的考查：2009、2010年部分省市课标中考涉及的知识点如下表:序号所考知识点比率1反比例函数的图象与性质2~3%2反比例函数的解析式求法2~10%(二)中考热点：函数知识是每年中考的重点知识，是每卷必考的主要内容，本章主要考查反比例函数的图象、性质及应用，这些知识是考查学生综合能力，解决实际问题的能力．因此函数的实际应用和几何、方程所组成的综合题是中考的热点问题．三、中考命题趋势及复习对策函数县数学中最重要的内容之一，题型既有低档的填史题和选择题，又有中档的解答题，更有大量的综合题，其中反比例函数的初步知识是每年的必考知识点，试题多以填空题和选择题的形式出现，重点考查基础理论、概念、方法，一次函数和反比例函数的综合题也越来越多．针对中考命题趋势，在复习时应首先理解反比例函数概念，掌握其质及图象，复习时要对照一次函数、反比例函数的性质去学，注意两种函自的区别和联系，此外对于反比例函数的实际应用还应多加练习．★★★(I)考点突破★★★考点1：反从例函数的意义及其图象和性质一、考点讲解：1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=xk(k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．备注：反比例函数的另外两种形式，kxykxy,1(k≠0).2．注意：(1)k为常数，必须强调k≠0；例如y=kx就不是反比例函数；（2）xk中分母x的指数为1；(3)自变量x的取值范围是x≠0；（4）因变量y的取值范围是y≠0．3．反比例函数的图象和性质．利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比例函数y=kx具有如下的性质（见下表）①当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y随x的增加而减小；②当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y随x的增加而增大．注意：分析反比例函数增减性时，必须强调“在每一个象限内”。4．反比例函数y=xk（k≠0）中k的几何意义过反比例函数y=xk图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N（如图），则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数k。从而有注意：所围矩形的面积为k，而不是k。若其面积为6，则k=±6。二、经典考题剖析：【考题1、】（2009、宁安）函数y=kx与y=kx+k在同一坐标系的图象大致是图1－5－l中的（）解：B点拨：A中，y=kx的图象过第一、三象限，则k＞0．而y=kx+b过第一、二、四象限，则k＜0，矛盾；C中，由y=kx的图象知，在k＜0．但一次函数y=kx＋k与y轴交于正半轴，和k＜0矛盾；D中，由y=kx的图象知，k＜0．Y=kx＋k中，k＞0，矛盾．故选B．【考题2】（2009、潍坊）若M（－12，y1），N（－14，y2），P（12，y3）三点都在函数y=kx（k＜0）中的图象上，则y1，y2，y3，的大小关系为（）A．y2＞y3＞y1B、y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D、y3＞y2＞y1解：如上图数形结合得B；还可以由y=kx中k＜0，故y的值在每个象限内随x的增大而增大．而－14＞－12，故y2＞y1＞0．由于P点在第四象限，故y30.【考题3】（2009、湟中）点P既在反比例函数y=－3x（x＞0）的图象上，又在一次函数y=－x－2的图象上，则P点的坐标是（，）解：点P是两函数的交点，则同时满足两个解析式，联立解析式得,2,3xyxy得到－3x=－x—2，化简得0322xx，解得3,121xx（舍去）。将x=1代入反比例函数得y=－3.故点P（1，－3）.点拨：当题目是一次函数与反比例函数相交求交点问题时，可将联立两个函数解析式求解。【考题4】如图，已知双曲线xky(k＞0)经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k＝______________。解：由反比例函数比例系数k的几何意义，结合上图可知：△OCE、△OAF的面积均为k21，若设F点的纵坐标为b,则点F的横坐标为bk故点B的坐标为（bk，2b）（因为F是AB的中点），所以矩形OABC的面积为bk×2b=2k，根据四边形OEBF的面积为2，可得2k-k21-k21=2，所以k=2.三、针对性训练：1．若反比例函数y=kx的图象经过（a，－a），则a的值为（）A．2B．－2C．±2D．±22．已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则y=kbx反比函数的图象在（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限3．设x＜0，函数y=x和y=1x在同一直角坐标系中的大致图象是图l－5－4中的（）4．函数y=－4x的图象与x轴交点的个数是（）A．0个B．l个C．2个D．不能确定5．三角形的面积为1时，底y与高x之间满足的的数系的图象是图1－5－5中的（）6．已知一个三角形的面积为5，一边长为x，这边上的高为y，则y关于x的函数关系式为y=10x(x＞0)该函数图象在第________象限．7．点（1，6）在双曲线y=kx上，则k=________．8．已知力F，物体在力的方向上通过的距离s，力F所做的功W，三者之间有以下关系式成立：W=Fs，则当W为定值时，F与s的图象大致是图1－5－6中的（）9若函数y=25(2)kkx是反比例函数，则k=___．10点A(a，4)在函数y=8x的图象上，则a的值为___________。11函数y=3x的自变量x的取值范围是______；当x＜0时，y随x的增大而_____．12如图1－5－7所示为反比例函数y=kx的图象，那么k的取值范围是____13已知函数y=（m2－1）21mmx，当m=_____时，它的图象是双曲线．14面积为2的平行四边形ABCD，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是图1－5－8中的（）15当b＜0时，反比例函数y=kx和一次函数y=kx－k的图象大致是图l－5－9中的（）16．已知点（x1，－1），（x2，－254），（x3，－25），在函数y=8x的图象上，则下列关系式正确的是（）A．x1x2x3．B．x1＞x2＞x3C．x1＞x3＞x2D．x1x3x216如图，A为反比例函数kyx图象上一点，AB垂直x轴于B点，若S△AOB＝3，则k的值为（）A、6B、3C、3或-3D、6或-617如上图，正比例函数)0(kkxy与反比例函数xy1的图像相交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连结BC，若ABC面积为S，则（）AS=1BS=2CS的值不能确定DS=318已知112233(,),(,),(,)xyxyxy是反比例函数4yx的图象上三点，且1230xxx，则123,,yyy的大小关系是（）A、1230yyyB、1230yyyC、1320yyyD、1320yyy19如图l－5－10所示，正比例函数y=2x与反比例函数y=x2的图象交于A、B两点，过A点作x轴的垂线，垂足为B，过C点作x轴的垂线，垂足为D，求S四边形ABCD．考点2：反比例函数的解析式求法一、考点讲解：1．反比例函数解析式的确定方法：由于在反比例函数关系式y=kx中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数．因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入y=kx中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式．2．用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤ABOxy第16题①设所求的反比例函数为：y=kx(k≠0)②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k的方程；③由代人法解待定系数k的值；④把k值代人函数关系式y=kx中。3．一次函数与反比例函数相交问题⑴给出一个已知点和含有待定系数的两个解析式，求另一个交点及函数解析式；⑵求两个交点与坐标原点组成的三角形的面积，可通过坐标轴将要求三角形分割为两个小三角形，先求小三角形的面积；⑶通过观察图像比较反比例函数与一次函数的大小关系，注意x的取值范围分为两段。二、经典考题剖析：【考题1】（2009、南山区正题）老师给出一个函数，甲、乙、丙各正确指出了这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一象限；乙：函数的图象经过第三象限；丙：在每个象限内，y随x的增大而减小．请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数.解：y=x2点拨：由题意中描述的性质可知此函数为反比例函数，且k＞0．答案不唯一【考题2】（2009、贵阳）如图1－5－11所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=kx(k≠0）的图象交于M、N两点．⑴求反比例函数和一次函数的解析式；⑵根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．4）代入kyx中，得k=4。解：（1）将N（1，反比例函数的解析式为4yx。将M（2，m）代入解析式4yx中，得m=2。将M（2，2），N（1，4）代入yaxb中，224abab解得a=2，b=－2。所以，一次函数的解析式为22yx（2）由图象可知：当x＜1或0＜x＜2时反比例函数的值大于一次函数的值.【考题3】一次函数1kxy的图像与反比例函数xmy的图像交于点M（2,3）和另外一个点N。⑴求出一次函数和反比例函数的解析式；⑵求出点N的坐标；⑶求出△MON的面积。解：（1）∵点M（2,3）在一次函数1kxy上，∴1,312kk。∴一次函数1xy。∵点M（2,3）在反比例函数xmy上，∴m=6。反比例函数为xy6。（2）联立两解析式得xyxy6,1解得2,33,22211yxyx或所以点N（－3，－2）。（3）设MN交y轴于点A，如图，在1xy中，令x=0，得y=1。所以点A的坐标为（0,1）。所以AONAOMMONSSS＝2531212121三、针对性训练：(45分钟)(答案：261)1．如图1－5－l2所示，函数图象①②③的关系式应为（）56.,2,256.,2,2AyyxyxByxyxyx56.,2,256.,2,2CyxyxyxDyxyxyx3．老师在同一直角坐标系中画了一个反比例函数的图象以及正比例函数y=－x的图象，请同学们观察有什么特点，并说出来．同学甲：与直线y=－x有两个交点；同学乙：图象上任意一点到两坐标轴的距离的积都为5，请你根据同学甲和同学乙的说法写出反比例函数的解析式5．如图1－5－l3所示，已知一次函数y=kx＋b（k≠（1）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=mx（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D．若OA=OB=OD＝1．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．6．反比例函数y=kx的图象经过点A（－2，3）⑴求出这个反比例函数的解析式；⑵经过点A的正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=kx的图象，还有其他交点吗？若有，求出坐标；若没有，说明理由．7．如图1－5－15所示，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点．如果A点的坐标为（2，0），点C、D分别在第一、三象限，且OA