反比例函数的应用(1)

1舜耕中学数学教案专用纸课题第五章第3节反比例函数的应用课时第一课时课型新授课授课人授课时间2012.11.15星期四教学目标1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程。2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力。教学重点和难点重点：掌握从实际问题中建构反比例函数模型。难点：从实际问题中寻找变量之间的关系。课前准备多媒体课件教学过程一．创设问题情境，引入新课[师]有关反比例函数的表达式，图象的特征我们都研究过了，那么，我们学习它们的目的是什么呢?[生]是为了应用.[师]很好.学习的目的是为了用学到的知识解决实际问题.究竟反比例函数能解决一些什么问题呢?本节课我们就来学一学.设计意图：通过两个问题开门见山，明确本节课的学习内容.二．新课讲解（一）激趣导入，提出问题（多媒体出示引例）某校科技小组进行野外考察，途中遇到片十几米宽的烂泥湿地.为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗?当人和木板对湿地的压力一定时随着木板面积S(m2)的变化,人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化?如果人和木板对湿地地面的压力合计600N，那么(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗?为什么?(2)当木板画积为0.2m2时.压强是多少?(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大?(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象.(5)清利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴进行交流.（给学生读题和独立思考的时间）[师]分析：首先要根据题意分析实际问题中的两个变量，然后看这两个变量之间存在的关系，从而去分析它们之间的关系是否为反比例函数关系，若是则可用反比例函数的有关知识去解决问题.请大家互相交流后回答.[生](1)由p=SF得p=S6002p是S的反比例函数，因为给定一个S的值.对应的就有唯一的一个p值和它对应，根据函数定义，则p是S的反比例函数.(2)当S=0.2m2时，p=2.0600=3000(Pa).当木板面积为0.2m2时，压强是3000Pa.(3)当p=6000Pa时，S=6000600=0.1(m2).如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要0.1m2.(4)图象如下：(5)(2)是已知图象上某点的横坐标为0.2，求该点的纵坐标；(3)是已知图象上点的纵坐标不大于6000，求这些点所处的位置及它们横坐标的取值范围.[师]这位同学回答的很好，下面我要提一个问题，大家知道反比例函数的图象是两支双曲线、它们要么位于第一、三象限，要么位于第二、四象限，从(1)中已知p＝S6000，所以图象应位于第一、三象限，为什么这位同学只画出了一支曲线，是不是另一支曲线丢掉了呢?还是因为题中只给出了第一象限呢?[生]第三象限的曲线不存在，因为这是实际问题，S不可能取负数，所以第三象限的曲线不存在.[师]很好，那么在(1)中是不是应该有条件限制呢?[生]是，应为p＝S600(S0).设计意图：通过引例经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型的过程，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力.这里要引导学生注意，在实际问题中自变量有取值范围，函数图象只是源图像的一部分。（二）自主合作，解决问题1.蓄电池的电压为定值.使用此电源时，电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如下图所示；(1)蓄电池的电压是多少?你能写出这一函数的表达式吗?(2)完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内?R/Ω345678910I/A4[师]从图形上来看，I和R之间可能是反比例函数关系.电压U就相当于反比例函数中的k.要写出函数的表达式，实际上就是确定k(U)，只需要一个条件即可，而图中已给出了一个点的坐标，所以这个问题就解决了，填表实际上是已知自变量求函数值.3[生]解：(1)由题意设函数表达式为I＝RU∵A(9，4)在图象上，∴U＝IR＝36.∴表达式为I=R36.蓄电池的电压是36伏.(2)表格中从左到右依次是：12，9，7.2，6736，4.5，3.6.电源不超过10A，即I最大为10A，代入关系式中得R＝3.6，为最小电阻，所以用电器的可变电阻应控制在R≥3.6这个范围内.设计意图：这一题涉及三个类型，学生做完后引导学生总结思路，第一涉及反比例函数解析式，常用思路待定系数法.第二涉及求自变量和函数值，代入计算即可.第三求自变量和函数的取值范围，处理方法是数形结合的思想.2.如下图，正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y=xk2的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(3,23).(1)分别写出这两个函数的表达式：(2)你能求出点B的坐标吗?你是怎样求的?与同伴进行交流.[师]要求这两个函数的表达式，只要把A点的坐标代入即可求出k1，k2，求点B的坐标即求y＝k1x与y=xk2的交点.[生]解：(1)∵A(3,23)既在y＝k1x图象上，又在y＝xk2的图象上.∴3k1＝23，23＝32k.∴k1=2,k2=6∴表达式分别为y＝2x,y＝x6.y=2x,(2)由得2x=x6,y=x6∴x2=3∴x=±3.当x=-3时，y=-23.∴B(-3,-23).设计意图：通过这一问题，让学生感受方程的解和函数图象上点的坐标之间的关系.在这里4可以用A、B两点的坐标关于原点对称这一性质来求B点坐标.课堂练习1.某蓄水池的排水管每时排水8m3，6h可将满池水全部排空.(1)蓄水池的容积是多少?(2)如果增加排水管，使每时的排水量达到Q(m3)，那么将满池水排空所需的时间t(h)将如何变化?(3)写出t与Q之间的关系式；(4)如果准备在5h内将满池水排空，那么每时的排水量至少为多少?(5)已知排水管的最大排水量为每时12m3，那么最少多长时间可将满池水全部排空?解：(1)8×6＝48(m3).所以蓄水池的容积是48m3.(2)因为增加排水管，使每时的排水量达到Q(m3)，所以将满池水排空所需的时间t(h)将减少.(3)t与Q之间的关系式为t=Q48.(4)如果准备在5h内将满池水排空，那么每时的排水量至少为548=9.6(m3).(5)已知排水管的最大排水量为每时12m3，那么最少要1248＝4小时可将满池水全部排空.三、课堂小结这节课你有哪些收获，还有哪些疑惑？四、达标测试：（A类）已知新建蓄水池工程需要运送的土石方总量为4×104m3，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务。（1）运输公司平均每天的工作量v(m3/天)与完成运送任务所需的时间t(天)之间有怎样的函数关系？（2）运输公司共派出20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100m3，则需要多少天才能完成该任务？（3）工程进行到8天后，由于进度需要，剩下的运输任务必须提前4天完成，那么公司至少需要再增派多少辆同样的卡车才能按时完成任务？（B类）为了预防“非典”，某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例,药物燃烧后，y与x成反比例(如右图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：5(1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为,自变量x的取值范围为；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为.(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，学生才能回到教室；(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效?为什么?答案：(1)y＝43x，0x≤8y=x48(2)30(3)此次消毒有效，因把y=3分别代入y=43x，y=x48，求得x＝4和x＝16，而16-4=1210，即空气中的含药量不低于3毫克/m3的持续时间为12分钟，大于10分钟的有效消毒时间.七、板书设计§5.3反比例函数的应用应用1.应用2.应用3.练习.附：教学反思：反比例函数图像的性质是反比例函数的教学重点，把握好本节课的内容对于学生解决许多问题有很好的帮助，在学生已有的正比例函数性质的基础上，学生学习性质比较轻松，但运用该性质解决问题存在难度。学生需要在理解的基础上熟练运用。为此应加强反比例函数与正比例函数的对比：应该有意识地加强反比例函数与正比例函数之间的对比，对比可以从以下几个方面进行：（1）两种函数的关系式有何不同？两种函数的图像所在位置是否相同？两种函数的增减性是否有区别？（2）两种函数的取值范围有什么不同，常数的符号的改变对两种函数图像的变化趋势有什么影响？（3）利用待定系数法求函数的解析式对于两个函数知道几点就可以求的。从这些方面去比较理解反比例函数与一次函数，帮助学生将所学知识串联起来，提高学生综合能力。运用多媒比较两函数图像，使学生更直观、更清楚地看清两函数的区别。从而使学生加深对两函数性质的理解。通过本案例的教学，使我深刻地体会到了信息技术在数学课堂教学中的灵活性、直观性。特别是反比例函数中k值对函数图像的位置教学和无交点坐标的教学起到一定的作用。虽然制作起来比较麻烦，但能使课堂教学达到预想不到的效果，使课堂教学效率也明显提高。提高学生对数学学习的兴趣和深入研究的习惯。当然在教学中，由于小部分同学的数学基础薄弱，导致学习比较吃力，通过这种直观演示能较好的掌握知识，课后还应加强对性质运用的训练。