反证法与放缩法导学案

《不等式的的证明(3)——反证法与放缩法》导学案学习目标：1.理解并掌握反证法、换元法与放缩法;2.会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式奎屯王新敞新疆一、复习引入1.不等式证明的基本方法：10.比差法与比商法(两正数时)．20.综合法和分析法．30.反证法、换元法、放缩法2.综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,通过逻辑推理,推导出所要证明的结论.这种证明方法叫做综合法.又叫由导法.用综合法证明不等式的逻辑关系：12nABBBB3.分析法：从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.这是一种执索的思考和证明方法.二、合作、探究、展示1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有哪几个步骤？例1、（1）已知1,0,2,,2yxyxyx1+x且试证：中至少有一个小于y（2）已知a+b+c0，ab+bc+ca0，abc0，求证：a,b,c0.2.换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性.常用的换元有三角换元有：10．已知222ayx，可设，；20．已知122yx，可设，(10r)；30．已知12222byax，可设，.例2设实数,xy满足22(1)1xy，当0xyc时，c的取值范围是（）.A[21,).B(,21].C[21,).D(,21]例3已知221xy，求证：2211ayaxa3.放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度.常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：aa12，nnn)1(，②将分子或分母放大（或缩小）如：2111(1)(1)nnnnn③应用“糖水不等式”：“若0ab，0m，则aambbm”④利用基本不等式，如：2lg3lg5()lg4；⑤利用函数的单调性⑥利用函数的有界性：如：sinx≤1xR；⑦绝对值不等式：ab≤ab≤ab；⑧利用常用结论：如：122211kkkkkkk*,1kNk，122211kkkkkkk*,1kNk⑨应用贝努利不等式：2(1)(1)11.12nnnnxnxxxnx(1)x例4当n2时，求证：(1)log(1)lognnnn例5求证：.332113211211111n例6若a,b,c,dR+，求证：21caddbdccacbbdbaa三、课后练习1、设二次函数qpxxxf2)(，求证：)3(,)2(,)1(fff中至少有一个不小于21.2、设0a,b,c1，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于413、已知1≤22xy≤2，求证：12≤22xxyy≤34、设2()13fxxx，1xa，求证：()()21fxfaa；5、求证.111bbaababa6、设n为大于1的自然数，求证.2121312111nnnn7、求证：（1）223111112212nnn(n≥2)（2）1112121223nnn*nN