发表于省级《中学数学教学参考》的文章《旋转图形的问题解法探究》第3篇

“旋转图形”问题与解法探究湖北省潜江市张金中学（433140）杨义茂吴兵新课程标准下的初中数学教材，增加了“图形的旋转”等一些源于生活、实践性强的知识.应用“图形的旋转”对几何图形运动问题展开探究，把静止的问题转换成动态，或者把动态问题转换成静态，可以拓展学生的想象空间，挖掘知识间的内在联系，培养数学思维能力和强化数学问题意识.1、动静转换中的一图多变的探究下面是以两个正方形为基本图形，用动中取静、静中求动的思维设计的问题来加以说明：1.1静态图形的直观型问题问题1如图1，正方形ABCD中有一个小正方形AEFG，点E、F分别在AB、AD上，点F在正方形ABCD的内部，试说明线段BE与DG之间的关系.简析：从图形的特殊位置入手，学生直观地得出BE与DG的关系：（1）BE＝DG；（2）BE⊥DG。但BE与DG的位置关系不能忽视.1.2动态图形的揭示规律问题2如果将图1中的正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转任意角度，那么图1中的“BE与DG垂直且相等”的结论还成立吗？请同学们自己画图试一试.简析：设计此问是为了让学生自主探究，个性得以发挥，发散思维得到培养。（要求学生分组讨论，每组一个代表在全班交流.）综合学生的画图大致分类如下：图1图2图3图4图5图6设旋转角度为α，图2中，α＜45O；图3中，α＝45O；图4中，α＝90O；图5中，90O＜α＜135O；图6中，α＝135O；图7中，α=180O，还有α＞180O的图形等.从图2到图6，学生都能在“动变”中找出“不变”的东西：ΔABE≌ΔADG，从而确定BE与DG的相等到关系.而BE与DG的垂直关系要从图1和图7这两个特殊图形入手进行探究。问题3由图1和图7直观的得出BE与DG是互相垂直的关系，那么在图2至图6中BE⊥DG还成立吗？分析：例如在图6中，引导学生观察BE与DG的交角，应用不变的结论△ABE≌△ADG的∠1=∠2，得出∠BMD=90O，即BE⊥DG.又如在图2中，延长BE分别交AD、DG于M、N，同样由ΔABE≌ΔADG得∠1＝∠2，而∠1+∠ANB=900,所以∠2+∠MND=900,得BE⊥DG.在其它图中的解法相同.这样，学生在一题多CBDAEFGABCEDFGAABBCCDDEFFGGE图7DAAAB1BBCCDDEEEFFFGGGNM2BMN21FEGABQPNM图8DCC发表于中国教育部主管陕西师大主办的《中学数学教学参考》2006年第7期(字数3095)7月20日变的训练中，动手实验，发现规律，从而提高解题能力.1.3、探究结论的应用问题问题4在图5及图6中，顺次连结四边形BDEG的四边的中点M、Q、N、P，所得的四边形MQNP是什么图形（如图8）？简析：学生应用前面由“静态”到“动态”的图形中探索出的“不变”的结论“BE＝DG，BE⊥DG”和三角形的中位线定理不难得出四边形MQNP是正方形.2、动静转换中的一题多解的探究下面介绍在图3、图4静态下的图形中设计如何求三角形的面积问题，并在此基础上探究动态中三角形的最大与最小面积问题。2.1、静态图形中探究三角形面积的求法问题5如图9，正方形ABCD、AEFG的边长分别为b、a(b2a),点F在AD上,求SΔBDF.分析：学生由图形可直观的用两种方法得出SΔBDF.解法1：SΔBDF=SΔABD-SΔABF=21b2-21b2a=21(b2-2ab).解法2：SΔBDF=21DF·AB=21〔b-2a〕b=21(b2-2ab).问题6把图9中的正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45O（如图10），求SΔBDF.分析：学生通过认真地从多方位、多角度观察图形，运用不同知识和方法得出下列多种求法：解法1：最简单的方法是用四边形BDFG的面积减去三角形BFG的面积求解。类似的有直接用五边形BCDFG的面积减去两个三角形BCD、BFG面积的求解方法。SΔBDF=SΔBAD+SΔDEF+S正方形AEFG-SΔBFG=21b2+21a(b-a)+a2-21a(a+b)=21b2.解法2：如图11,连结BE,把SΔBDF看成是三个三角形BDE、BEF、DEF面积的和。SΔBDF=21DE·AB＋21DE·EF+21EF·AE=21b(b-a)+21a2+21a(b-a)=21b2.解法3：用补图法，分别延长CD、GF交于H，将五边形BCDFG补成了一个矩形BCHG(如图11)，则SΔBDF=S矩形BCHG-SΔBCD-S△BFG-S△DFH=b(a+b)-21b2-21a(a+b)-21a(b-a)=21b2-21a(b-a)=21b2.也可以用梯形BDHG的面积减去两个三角形BFG、DFH的面积.解法4：设BF、AD相交于K(如图10),由ΔBAK∽△BGF，GBABGFAK，AK=baab,DK=b－baab=bab2.所以SBDF=21(EF+AB)·DK=21(a+b)·bab2=21b2.解法5：连接AF（如图12）得梯形ABDF，设对角线BF与AD交于K，则SΔABK=SΔDFK，∴SΔBDF=SΔBDK+SΔDFK=21SΔABD=21b2.解法6：如图12，过点F作FM⊥BD于M交AD于N，于是得出等腰直角三角形DMN、FEN。EF=EN=a,FN2aDN=b-2a,MN=22ab,FM=2a+22ab22b.BD=2b,SBDF=21BD·FN=212b·22b=21b2.GABDFE图9CABGEFO图13CDABCDFGEK图10GABCDHEF图11GABCFEMND图12K简评：课堂上让学生各抒己见，各尽其才，有利于学生的创新能力提高，这正是新课标所要求的.2.2、动态图形中探究三角形面积最值的规律在上面问题5、6中，各自都是在静态图形中求三角形的面积。此时，用运动的观点提出新的问题增加其难度，让学生个性进一步得以发挥，发散思维进一步得到培养.问题7如图9，把正方形AEFG绕点A旋转任意角度，在旋转过程中△BDF的面积是否存在最大值及最小值?如果存在,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由.简析：本题是一个开放性的探究问题.教师应引导学生根据上两个问题的静态图形中求面积的解答，观察图形并思考，就会发现正方形AEFG在旋转过程中，ΔBDF的大小、形状在变，而ΔBDF的一条边BD始终没变.在此基础上，观察能力强、思维灵活的学生很快会发现：当点F到BD的距离最大或最小时，SΔBDF随之最大或最小。（1）当正方形AEFG旋转到（如图13）的位置时（即点F在AC上），点F到BD的距离最小。SBDF=SABD-2SBEF-SAEFG=21b2-21a(b-a)·2-a2=21(b2-2ab)还可以这样解:设AC与BD相交于O,∵FO,∴FO=212b-2a,又BD=2b,∴SΔBDF最小值=21FO·BD=21(212b-2a)·2b=21(b2-2ab).(2)当正方形AEFG绕点A旋转到（如图14）的位置时，点F到BD的距离大。即点F在AC所在的直线上，三角形BDF的面积最大.解法1：连结AF，SΔBDF最大值=SΔABF+SΔADF+SΔABD=21ab·2+21b2=ab+21b2.解法2：用补图法,如图14,分别延长CB、FG交于H，又分别延长CD、FE交于L，得矩形LCHF。则SΔBDF最大值＝S矩形LCHF－SΔBFL－SΔBFD－SΔDFH＝（a+b）2-21a(a+b)·2-21b(a+b)=ab+21b2.解法3：分别连结AF、AC，且AC与BD相交于O。可证明点F、A、O、C四点在同一直线上，由OF⊥BD,求出OF=OA+AF=2a+212b,得SΔBDF＝21OF·BD=21(2a+212b)·2b=ab+21b2.以上问题是通过旋转对图形进行一图多变和一题多解的发散性变化，让学生在旋转图形的变化过程中感悟到静与动、动变与不变及由特殊到一般再到特殊的这样一个辩证统一的观点.对每一个数学问题让学生有充分展示自己思维的空间，是有利于培养学生的创新能力和创新意识的.总之，是为了让学生在数学探究活动中，大胆思考、勇于探索，在展示自己智慧的同时体会到数学的奥妙无穷，即增强了学习数学的兴趣，又提高了探究能力.电子信箱[e-mail]电话[phone]LDCBLGFEAOH图14