动能定理_机械能守恒定律.

1．质点的动能定理0220011,22rrkkWFrFdrEmvEmv0kkWEE动能定理反映了力对空间的积累效应2．质点系的动能定理0kkAEE220011,22kiikiiiiWAAEmvEmv外内内力所做的总功一般不为零，即内力一般要改变系统的总动能MmMmvmvVMmEpMmmvVVMmmvk20202002121)(210)(例：mM0v00Vm+MV内力可以改变系统的总动能3．势能3.1保守力：做功只与物体的始、末位置有关，而与物体的运动路径无关的力。3.2势能：若质点从空间某一点0r沿任一路径移动到r，保守力对质点所做的功可表为0[()()]ppWErEr保＝则()ppEEr＝称为质点在r处的势能。系统共有：某一质点的势能为该质点与对该质点施加保守力的其它质点构成的质点系所共有。相对值：pE的值与零势能参考点的选择有关位置的函数：)(rEEpp重力势能:mghEp弹力势能:221kxEp万有引力势能:rmMGEp几种常见保守力的势能:4．功能原理机械能守恒定律0WWEE外非保内::::kkppWWEEEEE外非保内所有外力对系统做功的和所有非保守内力对系统做功的和系统总动能系统的势能4.1功能原理4.2机械能守恒定律封闭保守系统：:0:0WW外非保内封闭保守0EE1.变力做功()FFx0xxWFdx00::limiiiiiiiiiiiixixxxWFxxxWFxWFxSx0xxixi+xitFOS2.功、能与参照系动能定理、机械能守恒定律只适用于惯性参照系。在非惯性参照系中使用动能定理，需计入惯性力所做的功；在非惯性参照系中，机械能守恒定律的适用条件为外力、非保守内力及惯性力所做的总功为零。力做功一般与参照系（即使是惯性系）有关，但成对相互作用力做功与参照系无关（例4.6）。12121212121212()Pfvfvfvvfv21f1212f1v2v12121212()Wfrrfr在某一过程中，动能的增量一般与参照系（即使是惯性系）有关，但势能的增量（与成对保守力做功相联系）与参照系无关。所以相同的过程对某一参照系机械能守恒，但对另一参照系却可能不守恒。一质量为m的小球与一劲度系数为k的弹簧相连组成一体系，置于光滑水平桌面上，弹簧的另一端与固定墙面相连，小球做一维自由振动。试问：若视弹簧和物体m为一个体系，则在一沿此弹簧长度方向以速度u作匀速运动的参考系里观察，此体系的机械能是否守恒，并说明理由。xOkmxu例4.1如图所示，一根长为3L的轻绳绕过定滑轮，一端拴在放于光滑水平面上质量为M的物体A上；另一端拴在质量为m的物体B上，滑轮距地面的高度为L。开始时，将B移至非常靠近滑轮的位置处，且滑轮与A之间的那段轻绳已被拉直。将B由静止释放，试求：（1）B刚要着地的时的速度；（2）此时绳子的拉力。L3LBAL3LBAL2LBA解：221122BAmgLmvMv（1）634BmgLvmM834AmgLvmMcosBAvv030以地面为参照系，A的加速度以O点为参照系，A作圆周运动，其加速度沿绳子方向的分量，即向心加速度大小为230A||sinvahAOAaaaA||O||A||aaa（2）先计算A、B加速度之间的关系：230ABsincosvaahOA||aL2LBAvA||vAvAaBaA再求绳子中的张力：BmgTmacosATMa230ABsincosvaah22(sin)[]cos2AvMTmgmMmL216()(43)mMMmgMmL2LBA练习如图所示，质量为m、半径为R，表明光滑的圆柱体B放在光滑的水平桌面上。有一质量也等于m的细长直杆A，被固定的光滑套管C约束在竖直方向，A可自由上下运动．初始时，杆的下端正好与圆柱体顶点接触，系统保持静止状态。因受一微小扰动，使A、B从静止开始运动。求：（1）当杆A与圆柱面接触点的连线和竖直方向夹角为时，杆A的速度；（2）此时杆A与圆柱体将的相互作用力。OACBROACBR(1)2(1cos)sinvgR参考答案：(2)(2cos)Nmg例4.2一质量为M的圆环用线悬挂着，两质量为m的有孔小珠套在此环上，小珠可在环上无摩擦滑动，如图所示。今将两小珠从环的顶部释放，使之沿相反方向自由滑下。mmOM（1）证明：为使小珠下滑过程中大环能升起，m和M必须满足：Mm23；（2）在满足上述条件下，求大环开始升起时小珠与环中心连线与竖直线的夹角。mgN解：（1）221(1cos)2cosmgRmvmvmgNR(23cos)Nmg上升条件：MgNcos2，即2(23cos)cosmgMg22coscos036Mm以上不等式有解：4430962MmMmmmOMmmOMmgNmgN1313(11)cos(11)3232MMmm即开始上升时，（2）Mm23当时，以上不等式的解为：113cos(11)32MmmmOMmmOMmgNmgN例4.3如图所示，半径为R、质量为M、表面光滑的半球放在光滑的水平面上，在其正上方置一质量为m的小滑块。当小滑块从顶部无初速地下滑后，在图示的角位置处开始脱离半球，已知cos＝0.7，求M/m。MmvRVMmvRV解：222011()(1cos)22xxymvMVMVmvvmgR'vVv'cos'sinxyvvVvv2222('cos)011[('cos)'sin](1cos)22mvVMVMVmvVvmgR2222()(1cos)'sin(1cos)cos()(sin)MmgRvMmmgRVMmMm脱离球面的条件：N＝0，则222()(1cos)cossinvMmmgmgmRMm3cos3cos22.433cos2MmMmvRV例4.4用一弹簧把质量各为m1和m2的两木块连起来，一起放在地面上，弹簧的质量可不计，而m2m1，问：对上面的木块必须施加多大的压力Ｆ，以便在Ｆ突然撒去而上面的木块跳起来时，恰能使下面的木块提离地面？m2m1Fm2m1x1x2Fx＝011Fmgkx（1）解：22mgkx（2）m2刚好能被提起的条件：根据（1）～（3）可得12()Fmmg机械能守恒：221112121122kxmgxkxmgx（3）例4.5如图所示，有一劲度系数k=18.0N/m的弹簧，其一端固定，另一端连着一质量m=0.5kg的物体，该物体置于水平面上，物体与水平面之间的摩擦系数为=0.1。起初弹簧无形变，物体保持静止。今用一大小为12.0N，方向水平向右的恒力F作用在物体上。问（1）物体最终停止在什么位置？（2）物体从开始运动到最终停止所经历的路程是多少？（3）物体从开始运动到最终停止所经历的时间是多少？Fmk2211()()22nnnnFmgxxkxkx2()nnFmgxxk14nnmgxxk10x解：2[(21)]nFnmgxknxmknx1nxO（1）考察物体第n次来回运动：1nnnxxx221111()()22nnnnFmgxxkxkx12()nnFmgxxk4(1)nnmgxknkxFmg物体停止在位置xn的条件：1(1)6.254Fnmgmax7n物体最终停止的位置为：72(13)0.61(m)Fmgxknxmknx1nxO（2）根据功能原理：27712Fxmgskx277/27.94(m)Fxkxsmg（3）物体来回一次的时间：11366.81(s)26tTT2(s)3mTk因此可得物体从开始运动到最终停止所经历的时间：nxmknx1nxO例4.6图示为一利用传输带输送货物的装置.物块（视为质点）自平台经斜面滑到一以恒定速度V运动的水平长传输带上，再由传输带输送到远处目的地.已知斜面高h=2.0m，水平边长L=4.0m，传输带宽d=2.0m，传输带的运动速度V=3.0m/s，物块与斜面间的摩擦系数1=0.30，物块自斜面顶端下滑的初速度为零，沿斜面下滑的速度方向与传输带运动方向垂直.设物块通过斜面与传输带交界处时无动能损失.重力加速度g=10m/s2.hdVL（1）为使物块滑到传输带上后不会从传输带边缘脱离，物块与传输带之间的摩擦系数2至少为多少？（2）当货物的平均流量（单位时间里输送的货物质量）稳定在=40kg/s时，求单位时间里物块对传送带所做的功以及传送带对物块所做的功。hdVL（1）11sincos(sincos)mgmgagm物块滑到斜面底端的速度：012/sin2(1cot)4.0m/sahghvha0v解：物块在斜面上滑动的加速度：以传输带为参照系，物块滑到传输带的初速度大小:运动方向与传输带边缘的夹角满足：22005.0m/sVvv4tan3物块在传输带上作减速运动，加速度大小：22mgagm0vV0vd当物块与传输带相对静止时在传输带上运动的距离：2200222sagvv物块不超过传输带宽的边缘对应的最小摩擦系数2应满足:202sinsin2sdgv202sin0.52gdv物块对传输带的摩擦力大小:0vV0vd0022mggvv单位时间内物块对传输带所做的功:20cos()cos360(J/s)WFVVVv（2）传输带上与传送带间存在相对滑动的货物质量:20Fmgv单位时间内传输带对物块所做的功:22011140(J/s)22WVv22011()500(W)22WWVv222000111()500(W)222WWFvFvvVv或以地面为参照系，单位时间内摩擦力对传输带和物块所做的功分别为:2cos()WFVV2220011()22WvVv0vV0vd2201122WVv以传送带为参照系，单位时间内摩擦力对传输带和物块所做的功分别为:0W2201()2WWVv2201()2WWVv力做功一般与参照系（即使是惯性系）有关，但成对相互作用力做功与参照系无关。