动量和能量知识在力学问题中的综合应用

-1-动量和能量知识在力学问题中的综合应用热点例析题型一、功和功率动能定理1．功。（1）恒力的功：W＝Fscosα。（2）变力做功：①用动能定理或功能关系求解；②用图象法求解，其中在F－s图象中，曲线下的面积表示功的大小；③当力的功率恒定时W＝Pt。2．功率。（1）平均功率：P＝Wt（2）瞬时功率：P＝Fvcosα3．动能定理。（1）内容：外力对物体做的总功等于物体动能的变化。（2）公式：∑W＝ΔEk即W1＋W2＋W3＋…＝12mv22－12mv21（3）应用要点：对于单个物体应用动能定理W总＝ΔEk，W总指物体所受的所有外力做的总功。动能定理对全过程应用更加简便，即把几个过程作为一个整体，只考虑初、末状态的动能及过程中各力做功的代数和。【例1】（2012·福建理综，17）如图，表面光滑的固定斜面顶端安装一定滑轮，小物块A、B用轻绳连接并跨过滑轮（不计滑轮的质量和摩擦）。初始时刻，A、B处于同一高度并恰好处于静止状态。剪断轻绳后A下落、B沿斜面下滑，则从剪断轻绳到物块着地，两物块（）A．速率的变化量不同B．机械能的变化量不同C．重力势能的变化量相同D．重力做功的平均功率相同【例2】如图所示，抗震救灾运输机在某场地卸放物资时，通过倾角为30°的固定光滑斜轨道面进行。有一件质量为m＝2.0kg的小包装盒，由静止开始从斜轨道的顶端A滑至底端B，然后又在水平面上滑行一段距离后停下。若A点距离水平面的高度h＝5.0m，重力加速度g取10m/s2，求：（1）包装盒由A滑到B所经历的时间；（2）若地面的动摩擦因数为0.5，包装盒在水平地面上还能滑行多远？（不计斜面和地面接触处的能量损耗）规律总结1．涉及时间一般不宜运用动能定理求解；2．动能定理的优势是对整个过程应用，比用牛顿定律和运动学公式简便得多。【拓展练习1】（2012·江苏单科，3）如图所示，细线的一端固定于O点，另一端系一小球。在水平拉力作用下，小球以恒定速率在竖直平面内由A点运动到B点。在此过程中拉力的瞬时功率变化情况是（）A．逐渐增大B．逐渐减小C．先增大，后减小D．先减小，后增大题型二、碰撞问题1．碰撞过程由于作用时间短、内力远大于外力，系统的动量一般按守恒处理。2．弹性碰撞动量守恒、机械能守恒，质量相等时两物体碰后速度交换；两物体发生完全非弹性碰撞时，碰后具有共同速度，机械能的损耗最大。3．一般的非弹性碰撞动量守恒，碰后总动能小于碰前的总动能。【例3】（2011·广州一模，36）如图，绝缘水平地面上有宽L＝0.4m的匀强电场区域，场强E＝6×105N/C、方向水平向左。不带电的物块B静止在电场边缘的O点。带电荷量q＝＋5×105C、质量mA＝1×10－2kg的物块A在距O点s＝2.25m处以v0＝5m/s的水平初速度向右运动，并与B发生碰撞，假设碰撞过程A、B构成的系统没有动能损失。A的质量是B的K（K＞1）倍，A、B与地面间的动摩擦因数都为μ＝0.2，物块均可视为质点，且A的电荷量始终不变，取g＝10m/s2。（1）求A到达O点与B碰撞前的速度大小；（2）求碰撞后瞬间A和B的速度大小；（3）讨论K在不同取值范围时电场力对A做的功。规律总结弹性碰撞动量守恒，机械能守恒，常见的情况是一动一静模型：m1v0＝m1v1＋m2v2①12m1v20＝12m1v21＋12m2v22②由二式化简得v0＝v2－v1③（此式表明碰前与碰后两球的相对速度大小相等）再由①和③联立解得：v1＝m1－m2v0m1＋m2，v2＝2m1v0m1＋m2（此结果要求记住）【例4】（2012·课标全国理综，35（2））如图，小球a、b用等长细线悬挂于同一固定点O。让球a静止下垂，将球b向右拉起，使细线水平。从静止释放球b，两球碰后粘在一起向左摆动，此后细-2-线与竖直方向之间的最大偏角为60°。忽略空气阻力，求：（ⅰ）两球a、b的质量之比；（ⅱ）两球在碰撞过程中损失的机械能与球b在碰前的最大动能之比。【拓展练习2】（2012·重庆理综，17）质量为m的人站在质量为2m的平板小车上，以共同的速度在水平地面上沿直线前行，车所受地面阻力的大小与车对地面压力的大小成正比。当车速为v0时，人从车上以相对于地面大小为v0的速度水平向后跳下。跳离瞬间地面阻力的冲量忽略不计，则能正确表示车运动的v－t图象为（）题型三、动量、能量的两种经典模型（1）子弹打木块模型子弹打木块类问题的特点：①系统合外力可看为零，因此动量守恒；②系统初动量不为零（一般为一静一动），末动量也不为零；③两者发生的相对位移等于子弹入射深度（穿出木块时为木块宽度）；④全过程损失的动能可用公式ΔEk＝fs相对表示。（2）滑块模型：滑块—木板模型作为力学的基本模型经常出现，是对直线运动和牛顿运动定律和动量守恒定律有关知识的巩固和应用。这类问题可分为两类：①没有外力参与，滑块与木板组成的系统动量守恒，系统除遵从动量守恒定律外，还遵从能量守恒定律，摩擦力与相对路程的乘积等于系统动能的损失，即f·s滑＝ΔEk；②系统受到外力，这时对滑块和木板一般隔离分析，画出它们运动的示意图，应用牛顿运动定律和运动学公式求解。【例5】如图所示，质量分别为M1＝0.99kg和M2＝1kg的木块静置在光滑水平地面上，两木块间夹一轻质弹簧，一粒质量为m＝10g的子弹以v0＝100m/s的速度打入木块M1中，求：（1）当子弹在木块M1中相对静止的瞬间，木块M1速度的大小；（2）弹簧被压缩到最短瞬间木块M2的速度；（3）弹簧获得的最大弹性热能。【例6】地面和半圆轨道面均光滑。质量M＝1kg、长L＝4m的小车放在地面上，其右端与墙壁的距离s＝3m，小车上表面与半圆轨道最低点P的切线相平。现有一质量m＝2kg的滑块（可视为质点），以v0＝6m/s的初速度滑上小车左端，带动小车向右运动。小车与墙壁碰撞时即被粘在墙壁上，已知滑块与小车表面的滑动摩擦因数μ＝0.2，g取10m/s2。（1）小车与墙壁碰撞前，小滑块会不会从小车上掉下来？（2）讨论半圆轨道的半径R在什么范围内，滑块能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道？规律总结：守恒定律的优点是只管初、末状态，不管过程细节，所以对相互作用的问题优先考虑应用动量守恒和能量守恒求解；另外讨论问题时注意考虑全面，不要漏掉可能出现的某种情况。【拓展练习3】（2012·广州一模，36）如图，木板A静止在光滑水平面上，其左端与固定台阶相距x。与滑块B（可视为质点）相连的细线一端固定在O点。水平拉直细线并给B一个竖直向下的初速度，当B到达最低点时，细线恰好被拉断，B从A右端的上表面水平滑入。A与台阶碰撞无机械能损失，不计空气阻力。已知A的质量为2m，B的质量为m，A、B之间动摩擦因数为μ；细线长为L、能承受的最大拉力为B重力的5倍；A足够长，B不会从A表面滑出；重力加速度为g。（1）求B的初速度大小v0和细线被拉断瞬间B的速度大小v1。（2）A与台阶只发生一次碰撞，求x满足的条件。（3）x在满足（2）条件下，讨论A与台阶碰撞前瞬间的速度。误区档案1．动量守恒与机械能守恒的条件不同-3-系统动量守恒的条件是合外力为零，分析受力时只分析外力，不分析内力，而系统机械能守恒条件是只有重力和弹簧弹力做功，分析受力时，既分析外力，又分析内力，若内力中除重力、弹簧弹力之外的其他力做功，机械能也不守恒。动量守恒，机械能不一定守恒，反之亦然。2．动量守恒定律表达式中的速度指的是对地速度动量守恒定律必须相对于同一惯性参考系，表达式中的速度指的是对地速度，如果题目给出的速度不是对地速度要转换为对地速度。3．除非弹性碰撞，一般地碰撞都有动能损失，完全非弹性碰撞，能量损失最大碰撞瞬间一般有能量损失，而这个能量损失是隐蔽的，不易觉察，易在此犯错误。4．摩擦力与相对路程的乘积，等于系统机械能损失，并不等于某物体机械能的损失【易错题】质量为M的木块停放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以水平速度v0打进木块，子弹打进木块没有出来，子弹与木块的作用力为f，求子弹打进深度d。易错分析：有的同学这样列式：由动量守恒得：mv0＝（m＋M）v（1）；由能量守恒得：fd＝12mv20－12mv2（2）式（1）是正确的，式（2）错误，应修改为fd＝12mv20－12（m＋M）v2，结合（1）可得d＝Mmv202m＋Mf5．动量守恒与选取的系统有关在同一物理过程中，系统的动量是否守恒，与系统的选取密切相关，因此，在运用动量守恒定律解题时，一定要明确在哪一过程中哪些物体组成的系统动量是守恒的。6．某一方向上动量守恒并不等于整个系统动量守恒某一方向系统受的外力的合力为零，这一方向动量守恒，但系统受到的合力不一定为零，总的动量不一定守恒。1．如图所示，小车由光滑的弧形段AB和粗糙的水平段BC组成，左侧有障碍物挡住，静止在光滑水平面上，当小车固定时，从A点由静止滑下的物体到C点恰好停止。如果小车不固定，物体仍从A点静止滑下，则（）A．还是滑到C点停住B．滑到BC间某处停住C．会冲出C点落到车外D．上述三种情况都有可能2．如图所示，足够长的小平板车B的质量为M，以水平速度v0向右在光滑水平面上运动，与此同时，质量为m的小物体A从车的右端以水平速度v0沿车的粗糙上表面向左运动。若物体与车面之间的动摩擦因数为μ，则在足够长的时间内（）A．若M＞m，物体A对地向左的最大位移是2Mv20M＋mμgB．若M＜m，小车B对地向右的最大位移是Mv20μmgC．无论M与m的大小关系如何，摩擦力对平板车的冲量均为mv0D．无论M与m的大小关系如何，摩擦力的作用时间均为2Mv0M＋mμg3．如图所示，重10N的滑块在倾角为30°的斜面上，从a点由静止开始下滑，到b点开始压缩轻弹簧，到c点时达到最大速度，到d点（图中未画出）开始弹回，返回b点离开弹簧，恰能再回到a点。若bc＝0.1m，弹簧弹性势能的最大值为8J，则（）A．轻弹簧的劲度系数是50N/mB．从d到c滑块克服重力做功8JC．滑块动能的最大值为8JD．从d到c弹簧的弹力做功8J4．（2012·天津理综，10）如图所示，水平地面上固定有高为h的平台，台面上有固定的光滑坡道，坡道顶端距台面也为h，坡道底端与台面相切。小球A从坡道顶端由静止开始滑下，到达水平光滑的台面后与静止在台面上的小球B发生碰撞，并粘连在一起，共同沿台面滑行并从台面边缘飞出，落地点与飞出点的水平距离恰好为台高的一半。两球均可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。求：（1）小球A刚滑至水平台面的速度vA；（2）A、B两球的质量之比mA∶mB。5．（2012·山东理综，22）如图所示，一工件置于水平地面上，其AB段为一半径R＝1.0m的光滑圆弧轨道，BC段为一长度L＝0.5m的粗糙水平轨道，二者相切于B点，整个轨道位于同一竖直平面内，P点为圆弧轨道上的一个确定点。一可视为质点的物块，其质量m＝0.2kg，与BC间的动摩擦因数μ1＝0.4。工件质量M＝0.8kg，与地面间的动摩擦因数μ2＝0.1。（取g＝10m/s2）（1）若工件固定，将物块由P点无初速度释放，滑至C点时恰好静止，求P、-4-C两点间的高度差h。（2）若将一水平恒力F作用于工件，使物块在P点与工件保持相对静止，一起向左做匀加速直线运动。①求F的大小。②当速度v＝5m/s时，使工件立刻停止运动（即不考虑减速的时间和位移），物块飞离圆弧轨道落至BC段，求物块的落点与B点间的距离。6．如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB的下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，C是最低点，圆心角∠BOC＝37°，D与圆心O等高，圆弧轨道半径R＝1.0m。现有一个质量为m＝0.2kg可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，DE距离h＝1.6m。物体与斜面AB之间的动摩擦因数μ＝0.5。取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2。求：（1）物体第一次通过C点时轨道对物体的支持力FN的大小；（2）要使物体不从斜面顶端飞出，斜面的长度LAB至少要多长；（3）若斜面已经满足（2）要求，物体从E点开始下落，直至最后在光滑圆弧轨道做周期性运动