动量守恒和能量守恒第2章

第二章力动量能量一、基本要求1.掌握牛顿运动定律的矢量表示式及其在自然坐标中的分量表示式；理解牛顿运动定律的使用条件，能用微积分方法求解变力作用下的简单力学问题.2.掌握功的概念，能用计算直线运动中变力的功.理解保守力作功的特点及其与势能的关系，理解势能的概念和性质，会计算重力势能和弹性势能，了解完有引力势能.3.掌握动能定理、动量定理及功能原理；掌握机械能守恒与动量守恒定律；能运用以上规律分析处理简单系统的动力学问题.4.理解相对论质量、动量、动能和能量等概念和公式，能进行简单计算.二.内容概要（一）牛顿定律的数学表达式F=ma=dtvdm=22dtrdm（2—1）平面直角坐标系中2222dtydmdtxdmdtdvmdtdvmmamaFFyxyxyx（2—2）自然坐标中221vmdtdvmmamaFFnt（2—3）2.牛顿定律的使用条件（1）惯性参考系；（2）宏观质点；（3）低速运动（v〈〈c〉.（二）功与能1.功（1）定义W=dsFrdFbabacos（2—4）（2）直角坐标系中表示式平面运动W=dyFdxFjdyidxjFiFbabayyyyyxybax)()(（2—5）直线运动W=dxFbaxxx（2—6）xF、yF分别为F在x轴和y轴上的投影，ax和ay，bx和by分别为起点a和终点b的相应坐标值.2.保守力与势能（1）保守力作功与晕高动路径无关，仅与起点和终点位置有关的力.可表示为0dF（2—7）即保守力沿任意闭合路径所作的功等于零.（2）势能在有保守内力作用的物体系内，由物体间相对位置状态决定的一种能量.势能的性质：①势能只存在于有保守力作用的物体系，且属于系统共有.②势能是系统内物体间相对位置状态的函数，是标量.③势能值具有相对性，与势能零点的选取有关；两定点间的势能差是确定的，与势能零点选取无关.表2—1常见势能函数及通常的零点规定势能名称势能零点规定势能函数重力势能可任取（设为y=0处，y轴垂直地面向上）mgyEp弹性势能弹簧原长处（设为x=0处）221kxEp万有引力势能两质点1m、2m间距离r=处rmmGEp21(注：表中各势能函数仅适用于表中所规定的势能零点)3.动能定理（1）质点动能定理合力所作的功等于质点动能的增量：20202121mvmvEEEWkkk外（2—9）(2)质点组动能定理一切外力所作功和一切内力所作功的代数和等于质点组动能的增量：2012102121iiNiiiNikkkiivmvmEEEWW内外（2—10）4.功能原理与机械能守恒定律（1）功能原理一切外力所作功和一切非保守力所作功的代数和等于系统机械能的增量：0EEEWWii非保守内外（2—11）（2）机械能守恒定律当外力所作功的代数和为零，系统非保守内力所作功的代数和亦为零时（即00非保守内外，且iiWW），系统仅在内部发生动能和势能的相互转换，系统总机械能恒定不变，即有（2—12）（三）动量1.动量定理（1）质点动量定理合力的冲量等于质点动量的增量，即I=000vmvmpppdtFtt（2—13）（2）质点组动量定理作用于质点组的合外力的冲量等于系统总动量的增量，即0,0EEEEEEEpkpk或iiniiNiiniittniivmvmPPdtF00110110)(外（2—14）2.动量守恒定律若在0t至t时间间隔内，系统所受合外力为零，则在此时间内系统总动量保持不变，即若，外0iF则有iiPP0（2—15）或，若系统所受合外力在某方向的分力为零时，系统在该方向上的分动量守恒，即若则有,0ixFixixpp0（2—15a）（四）相对论质量、动量与能量1.相对论质量2201cvmm（2—16）0m是在相对物体静止的惯性系中测得的物体质量，称为静止质量.2.相对论动量2201cvvmvmP（2—17）3.相对论能量（1）静能200cmE（2—18）（2）相对论动能202cmmcEk（2—19）Epc（3）相对论总能量2mcE（2—20）4.相对论动量能量关系20222EcpE（2—21）0E可用图2—1所示直角三角形勾股弦之间的关系形象图2—1地表示以上关系.三.重点指导（一）牛顿运动定律此部分内容应在中学学习的基础上，重点掌握以下方面：1.注意理解其适用条件，并在解题中正确运用.例如，牛顿定律仅适用于惯性系，因此在涉及有相对非惯性系运动的问题时，须首先选定惯性系，再由牛顿定律分析求解。2.牛顿定律是一矢量方程，应根据物体运动情况选用并正确列出直角坐标或自然坐标中的分量方程.3.牛顿定律是一微分方程，对于一般变力作用问题了解其处理思想和方法，对简单一维变力作用问题应会用高等数学知识求解.（二）功与能1.变力作功的计算应理解并掌握计算变力的功的思路和方法.功的基本定义是恒力在质点直线运动中的功，rFW.当F为变力，且质点运动路径为曲线时，则可根据微积分的思想和方法，首先将运动路径分割成无数无穷小的元位移rd，由于rd→0，rd中的力F可视恒力，质点运动的曲线弧元ds也可视为直线元位移rd，这样，通过微分处理，便使变力“变为”恒力，曲线“变为”直线，就可由功的基本定义求出元位移rd中力F的元功rdFdW，再通过积分求和dWW，就可求得整个过程的功。具体计算时，可按直线坐标中功的计算式（2—5）、（2—6）或定义式（2—4）求。*2．一对内力的功质点组内质点之间相互作用的内力等大反向，一对内力的冲量等于零，而一对内力的功却不一定为零，教材上对此未作证明，为帮助理解，特证明如下。设质点组内质点1m与2m之间相互作用的内力为1F、2F，两质点的元位移分别为1rd和2rd，这一对内力的元功为1212112111221121)()(rdFrdrdFrdFrdFrdFrdFdWdWdW内其中2112rdrdrd，为质点1m相对2m的位移，如图2—2（b）所示。由式（2—22）可知：（1）一对内力的功等于作用于其中一个质点上的内力在该质点相对于另一质点的相对位移过程中所作的功；（2）只有当012rd或121rdF时，一对内力的功才为零，一般情形下，0内dW。根据以上结论，在计算一对内力的功时，只需计算其中一个力所作的功，这给某些问题的分析和计算带来了较大的便利。3．势能值的确定若所求势能的零点与表2—1中规定一致，那么，只需将物体位置坐标代入表中相应的势能函数计算即可求得；若势能零点另有规定，则可根据式（2—8）推导出的势能公式（见下式（2—23））计算。式（2—8）给出了保守力作功与势能的关系，是势能的一种定义式。若令0abE，即令b为势能零点，则a点的势能为rdFEapa0保式（2—8）表示，a点的势能等于物体从a点移到零势能点过程中，系统保守内力所作的功。式（2—23）也可作为势能的又一定义式。据此式，可计算势能零点取任意可能位置时势能的数值。由此例说明：（1）若弹性势能零点不取在弹簧原长处，那么本例中的弹性势能就不再具有表2—1中的数学形式，或者说，表2—1所列出的各种势能函数仅适用于表中所规定的势能零点。（2）在分析和计算类似竖直弹簧振子的力学系统的总势能（含重力势能和弹性势能）时，可直接根据式（2—24），统一以系统平衡位置为势能零点来计算，而不必分别计算两种势能后再求和。这种解法作为一种解题技巧，有些可能在中学曾用过，但不知其所以然。以上式（2—24）的导出过程则证明了这一结论。4．各种功能关系式的应用式（2—9）、（2—10）、（2—11）、（2—12）给出了各种功能关系式，在应用时应注意：（1）明确研究对象；（2）分析研究对象所受力及其性质。如为质点组，需分清内力和外力；如系统内有保守力，则还须区分是保守内力还是非保守内力。（3）在运用功能原理时，因保守内力的功已由相关的势能变化表示，不必也不能再计入式（2—11）左边的诸功代数和中。（4）系统中有多种势能时应分别说明每种势能的零点选取，再确定各势能值。（5）涉及机械能守恒的问题，应先按守恒条件严格分析。（三）动量1．动量定理的应用（1）动量定理为矢量式，若直接按矢量合成法求解时，应正确作出动量矢量三角形，才能正确确定动量增量p（或冲量I或平均冲力F）如图2—5（a）所示。学生的一个常见错误是直接将0p与p首尾相连，如图2—5（b）中实线或虚线表示的p。若由直角坐标系中的分量式求解，应正确写出始、末动量在各坐标上的投影（注意各投影值的正负）。（3）式（2—13）、（2—14）中左边均为合外力的冲量。受力分析时不要遗漏，但若物体相互作用时间很短，相互作用的冲力远大于其他有限大小的外力（如重力、摩擦力等）时，则后者可以忽略。2．动量守恒定理的应用（1）注意守恒条件的严格分析例如一大炮在①水平地面上；②山坡上发射炮弹，则①中，因发射时炮弹与炮车相互作用的内力内F在水平方向的分力远大于地面与炮车的摩擦力uF，所以可忽略uF而认为炮车与炮弹系统在水平方向动量守恒。②中，水平方向不仅有内F和uF的分力，还有山坡对炮车支持力NF的分力（如图2—6所示）。由于在发炮过程中NF与内F数量级相当（因在垂直斜面的方向炮车无加速度，可由牛顿定律列式分析得知），因而，系统在水平方向的合外力（uF与NF的水平分量之和）大小与内F分量相当而不可忽略，系统在此方向上的动量也就不守恒。显然，在沿斜面方向上，系统所受合外力（uF与G沿斜面的分力）远小于内F分量，故系统在斜面方向上动量守恒。在问题②中，学生往往不加分析地套用问题①的结论，这在某些问题守恒条件的分析判断中应特别注意。（2）各物体的动量均应对同一惯性系若物体间存在相对运动，应先确定惯性系，再确定各物体对该惯性系的动量。（4）注意各物体动量的“时态”（5）在应用相对运动速度合成公式时，无论是初态或是末态，必须用同一时刻的速度合成。例如，一质量1m的人手持一质量2m的小球以速度0v滑冰。设人以相对自己为u的速度向前抛出小球时，人的速度为v。以向前为正向，则系统对地的初动量为021vmm，而末动量应为uvmvm21，而不是uvmvm021！这是因为在末态（人抛出球的瞬时），人对地的速度为v（而不是0v），同一时刻球对人的速度为u，因而末态时，球对地的速度vuvvv人地球人球地。（四）相对论质量、动量与能量1．相对论动能（1）注意相对论动能的表达式2020cmmcEEEk与经典动能221mvEk截然不同。这与相对论动量VmP不同，后者在形式上仍与经典力学动量相同。（2）注意相对论动能与动量的关系相对论中，由22202cpEE及0EEEk可得)2(10EEEcpkk经典力学中，kmEp2显然，两式在形式上也不相同。2．相对论质量与能量相对论中质量守恒和能量守恒为同一规律，而在经典力学中，质量守恒律与能量守恒律为两个相互独立的规律。