变位齿轮公法线长度计算的研究与探索

变位齿轮公法线长度计算的研究与探索中煤北京煤机公司退休职工周万峰摘要：将变位齿轮公法线长度计算式sin2xmWWkk（直齿）中的“kW”和nnnknknmxWWsin2（斜齿）中的“knW”表述为“标准齿轮的公法线长度”是不合理的。本文从正反两方面论证这样表述的不合理性，并给出合理的表述。关键词：公法线长度，基圆弧长，标准齿轮，跨齿数。1、不合理的表述及不合理的计算方法有些教材和手册对变位齿轮公法线长度的计算是这样表述的：“变位齿轮的公法线长度，等于标准齿轮的公法线长度，加上变位齿轮公法线长度的附加量sin2xm（直齿）或nnnmxsin2（斜齿）。”给出的计算式为：sin2mxWWkk（直齿）（1）nnnknknmxWWsin2(斜齿)（1）并且指明公式中的“kW”和“knW”为“标准齿轮的公法线长度”。某些教材和手册虽然没有这样明确表述，但公法线长度却是按这种表述计算的。笔者认为这样表述和按表述这样计算都是不合理的。因为按这种表述计算的公法线长度，其测量点（量具卡脚与齿廓的切点）有时在齿顶部，有时在齿根部；有时甚至在齿顶圆之外或齿根圆以内，使公法线长度测量不准或无法测量。下面用这种方法计算一个例题，看看是不是这样。例题一变位直齿轮，)11(z4112z，4.120520xmmm，，（)4.01x试计算公法线长度。依据题给条件由标准齿轮公法线长度表查得，2z=41、m=1、020的公法线长度8588.13kW(跨齿数k=5)，故2940.6958588.13mWWkk，公法线长度的附加量7883.420sin54.12sin20xm。故公法线长度kWmmxmWk08.747883.42940.69sin2。这条公法线长度完全是按这种表述计算的，也是不少书和手册上示范例题的通行算法。那么这样计算是否合理呢？所谓公法线长度合理与否是指它的测量点是否在齿廓的合理部位：如测量点在齿高的中点部位则说明公法线长度是合理的；如测量点在齿顶部或齿根部则说明公法线长度是不合理的；如测量点在齿顶圆之外或齿根圆以内则说明这条线段已不是公法线长度了，因为它不符合公法线长度的定义。现据上述公认的论点对mmWk08.74的这条所谓公法线长度的合理性验证如下：（1）计算mmWk08.74的测量点所在圆直径kdbbkkddWd，22为基圆直径，cosddb，mzd=520541，mmdb64.19220cos2050，mmdk39.20664.19208.7422。（2）计算齿顶圆直径ad)(2052xhmhdhddaaaa，，。)(21xx，)1coscos(221zz，21212zzxxtginvinv04012339.041114.14.02022000tginvinv，查渐开线函数表53270。0.23491.5651-1.4)(0.4,5651.1)15327cos20cos(2411100。10.8275)0.2349-1.4(15ah，mmda66.2268275.102205。（3）计算测量点至齿顶的距离as2)(kaadds5013.102)39.20666.226(as。该齿轮的全齿高10.07555)0.2349-0.251(2m)2(chha，而测量点至齿顶的距离为0755.101350.10hsa，这表明公法线的测量点在齿根圆以内，无法测量。因此按这种表述计算公法线长度就此例而言是不合理的。另外，手册对）（或11nmm的公法线长度“)(knkWW表”都是这样定义的：“)(knkWW为）或1(1nmm的标准齿轮的公法线长度。”这种说法同样是不合理的。今从“公法线长度)(knkWW表”（今天各家手册几乎都有这样的表）中随意取z=86这个齿数（见表1）进行分析，看看它为何是不合理的。表1公法线长度)(knkWW0201nnmm，)(zz)(nxxk)(knKWW866.01029.24972.1~6.01132.20202~2.11235.15408.2~21338.1060在表1中，当k=10、k=11时经验证，它们对应的和2497.29)(knkWW2020.32)(knkWW是这个标准齿轮的公法线长度；但当k=12、k=13时经验证，它们对应的1060.38)(1540.35)(knkknk和就不是这个标准齿轮的公法线长度了。因为这两条线段的测量点都在标准齿轮的齿顶圆之外，不符合公法线长度的定义，所以它俩都不是公法线长度。下面验证1540.35kW是不是这个标准齿轮的公法线长度。（1）计算1540.35kW测量点所在圆直径kd86861cos22mzddddWdbbkk，，，8136.8020cos860bd，1286.888136.801540.3522kd。（2）计算标准齿轮的齿顶圆直径ad，，862dhddaa1mha，881286ad。mmdmmdak881286.88，这说明测量点在齿顶圆之外，不符合公法线长度的定义，因此它不是公法线长度。K=12对应的值都不是公法线长度，那k=13对应的值就更不是公法线长度了。在这4条线段中有两条是公法线长度，有两条不是公法线长度；然而教材、手册都一概称它们都是公法线长度；显而易见，这种说法是站不住脚的。因此按这种表述计算公法线长度以及对“)(knkWW”的定义显然都是不合理的。2、公法线长度必然是基圆弧长，但基圆弧长不一定是公法线长度按这种表述计算公法线长度的不合理性早在上世纪80年代就有文章指出过，但有些读者不以为然。他们说：“书上表述是合理的。只要将公式（1）中的（直齿）和)5.0(cos(zinvkmWWkk)5.0(cos(nnnknkninvzkmWW（斜齿）中的“k”用变位齿轮的跨齿数代入计算，不合理的公法线长度就不会出现了。”是的，这样计算是正确的。但这样又与表述有矛盾了：你有什么理由断定公式（1）中的knkWW和就一定是标准齿轮的公法线长度呢？今仍以上述那个例题为例，用变位齿轮的跨齿数代入，看看它是不是标准齿轮的公法线长度。首先计算变位齿轮的跨齿数。公式为：5.02cosarccos1800xzzzk。将各值代入公式，则97.65.04.124120cos41arccos1804100k，按规定应取k=7。将k=7代入公法线长度计算式，则mminvWk82.982041)5.07(20cos500。现在只要计算出mmWk82.98的测量点在标准齿轮齿廓上的部位，那么它是不是标准齿轮的公法线长度就一清二楚了。现验证如下：（1）计算mmWk82.98的测量点所在圆直径kd64.19282.9822bkbkkdWdWd，，（前已算出）。mmdk51.21664.19282.9822，（2）计算标准齿轮的齿顶圆直径ad52052mhdhddaaa，，，mmda21552205。至此即可看出，mmdmmdak21551.216。这表明测量点在齿顶圆之外，量具卡脚不能与渐开线齿廓相切，不符合公法线长度的定义，因此mmWk82.98不是标准处轮的公法线长度。这样就从另一方面否定了这种表述的合理性。总之，不论你怎样辩解，这种表述都是不能自圆其说的。所以这种表述是不合理的。那么mmWk82.98这条线段是什么呢？它是这个标准齿轮的6个基圆周节加上基圆齿厚的长度。也就是说，它是标准齿轮含7个齿的基圆弧长，而不是公法线长度。诚然，“公法线长度”必定是“基圆弧长”（这是渐开线的性质决定的），但“基圆弧长”不一定是“公法线长度”。比如有个z=20的直齿轮，它合理的跨齿数是k=3（)5.01800zk，即按跨3个齿计算是公法线长度，而按k=8、k=9、k=10等等算出的就是基圆弧长了。因为它们的测量点都在齿顶圆之外，无法测量。故它们不是公法线长度。明明不是公法线长度，而手册说它是公法线长度，这不是“指鹿为马”又是什么呢？3、变位齿轮公法线长度计算的合理表述前面说了，手册上对公法线长度计算的表述是不合理的。那么怎样表述才是合理的呢？笔者认为，对变位直齿轮公法线长度的计算这样表述似乎才是合理的。即：“变位直齿轮的公法线长度，等于标准直齿轮含k个齿的基圆弧长，加上变位直齿轮基圆弧长的附加量sin2xm。”计算式为：sin2)5.0(cosxmzinvkmWk式中“invkm)5.0(cos”就是标准直齿轮含k个齿的基圆弧长，“sin2xm”就是变位直齿轮基圆弧长的附加量，k是变位直齿轮的跨齿数。对变位斜齿轮公法线长度的计算这样表述似乎才是合理的，即：“变位斜齿轮的公法线长度，等于标准斜齿轮含k个齿的端面基圆弧长，加上变位斜齿轮端面基圆弧长的附加量后，与基圆螺旋角余弦的乘积。”计算公式为：knW｛ttttttmxzinvkmsin2)5.0(cos｝bcos式中“tttzinvkm)5.0(cos”为标准斜齿轮含k个齿的端面基圆弧长，“tttmxsin2”为变位斜齿轮端面基圆弧长的附加量，k为变位斜齿轮的跨齿数，b为斜齿轮基圆螺旋角。端面基圆弧长之所以乘上bcos是因为斜齿轮的公法线长度要在法面上测量，故应将端面上的值换算到法面上去。由于计算斜齿轮端面上的值太麻烦，而且斜齿轮给出的都是法面参数，因而将标准斜齿轮看成是齿数为)ntinvinvzzz（、参数与标准斜齿轮法面参数相同的、假想的直齿轮，这样即可按直齿轮的计算方法计算斜齿轮的公法线长度了。计算公式为：sin2)5.0(cosxminvzkmWk。式中“invzkm)5.0(cos”即为假想标准直齿轮含k个齿的基圆弧长，“sin2xm”即为假想变位直齿轮基圆弧长的附加量，k为假想变位直齿轮（也就是变位斜齿轮）的跨齿数。有人可能问了：“怎么斜齿轮公法线长度计算式与直齿的一样了呢？”应该大致是一样的。因为你已经将斜齿轮看成是齿数为z的直齿轮了嘛，当然应该大致一样了。如果假想的直齿轮公法线长度计算式中还有nnnxm、、这样的写法似乎就不好解释了，因为是直齿轮了嘛，所以就没有端面、法面之分了。但是它们还是有区别的：一看公式中有z就知是斜齿轮了。有人又说了：“公式（1）中的kW和knW原来定义为“标准齿轮的公法线长度”你说不合理，你一律给改成‘标准齿轮的基圆弧长’；然而当公式（1）中的kW和knW它们有时是‘标准齿轮的公法线长度’时怎么办呢？”这好办呐，仍称作是“标准齿轮的基圆弧长”就是了。因为公法线长度本身就是基圆弧长（这是渐开线性质决定的）嘛，而没有公法线长度功能的基圆弧长它本身就是基圆弧长。既然都是基圆弧长，称它们是基圆弧长又有何不可呢？那么为何说原来的说法不合理呢？因为公式（1）中的kW和knW它们有时是“公法线长度”，但有时则是（没有公法线长度功能的）“基圆弧长”（如前面说的98.82mm的这条线段）；因而在这种情况下一概称它们都是“公法线长度”显而易见是不合理的。因为没有公法线长度功能的“基圆弧长”它不是公法线长度。明明是只兔子，却说它是只鸡，这显然是说不通的嘛。4、变位齿轮公法线长度合理的计算方法由于对变位齿轮公法线长度的计算方法表述的不合理，故不合理的计算方法和不合理的公法线长度时有所见。就是今天那种不合理的计算方法在书上、手册上也不鲜见。变位齿轮公法线长度合理的计算方法应该是这样的：首先用变位齿轮的跨齿数计算公式算出跨齿数k，然后将k代入公