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包装工程专业外语大作业题目聚氨酯泡沫应变率敏感性的本构模型姓名俞坚道学号3120614033专业班级12包装工程1班指导教师张萍学院机电与能源工程学院宁波理工学院2目录1.引言......................................................32.本构方程.................................................32.1准静态模型............................................32.2包括应变率效应的模型..................................43.实验与参数辨识............................................63.1低密度聚氨酯泡沫塑料模型..............................63.2高密度聚氨酯泡沫塑料..................................73.3应力与应变率..........................................84.总结......................................................9参考文献...................................................10作者介绍...................................................10附件：原文Aconstitutivemodelforpolyurethanefoamwithstrainratesensitivity...........................................113聚氨酯泡沫应变率敏感性的本构模型摘要：本工作研究了聚氨酯泡沫塑料的应变率相关行为并制定了新的本构模型，以提高在各种应变速率中实验数据的拟合性。该模型的七个参数被两种应变速率下进行的准静态压缩试验所决定。压缩试验两种应变速率。高、低密度聚氨酯泡沫塑料的两种模型显示在了不同的应变率下应力-应变的关系。所进行的动态压缩试验得出了在高应变率下应力-应变的数据并且将此结果同本构模型进行了比较。关键词：聚氨酯泡沫；本构模型；动载荷；应变率1.引言对于汽车耐撞性能的改进不能被过高估计。美国交通部门估计从1999年到2009年，有超过400,000人遇难，2000万受伤需要住院治疗。这个情况，连同一系列的环境问题和社会压力在法律的支持下已经领导，并将继续引导，高度创新的设计，涉及到有色金属合金、智能结构、复合材料等先进的材料和泡沫。这项研究特别感兴趣的是耐撞性结构泡沫塑料材料的使用。聚合物泡沫目前被用作在保险杠和作为填充材料加固屋顶和门梁，并且它们的应用程序将被不断扩展。它们可以加强薄弱部位结构，从而可以对冲击载荷做出有效反馈，即加强耐撞性。泡沫的能量吸收性能是指，当保持一个几乎恒定应力值时所经历的大变形的能力。在其他聚合物中，聚氨酯泡沫被广泛应用在工业上。泡沫已经成为了无数试验、数值和理论调查的主题。Shim等人对硬质聚氨酯泡沫塑料进行了速度从2到4m/s的普通冲击试验。Avalle等人研究了使用能量吸收图的聚合物泡沫的能量吸收特性。Rusch提出了压应力与应变之间的关系作为初始压缩模量的泡沫和应变的函数。Meinecke和Schwaber描述作为一个应变函数的初始系数并改变了作为一个幂级数的应变的应变函数形式。Sherwood和Frost修改了聚氨酯泡沫塑料在受压状态下的本构模型的形状函数。Langseth进行了用挤压状态下的铝在在不同速率下持续冲击的冲击试验。2.本构方程2.1准静态模型聚合物泡沫的应力应变曲线，在一般情况下显示出三个区域：一个线性弹性区域，其次是可塑性平坦区域以及应力陡峭上升的致密区。吉布森模型的三个方程描述了每个区域，如下所示4当σ≤σy时，σ(𝜀)=E𝜀(1)当𝜀𝑦≤𝜀≤𝜀𝐷(1−𝐷−1)+𝜀𝑦时，σ(ε)=σ𝑦(2)当ε𝜀𝐷(1−𝐷−1)+𝜀𝑦时，σ(ε)=σ𝑦1𝐷(𝜀𝐷𝜀𝐷−𝜀)𝑚(3)σ和𝜀分别是工程应力和工程应变。该模型具有五个参数:E为杨氏模量的弹性部分。σy为屈服应力。εD为致密化应变和两个常量D、m。这模型在平坦区域应力有常量值的限制并且在两个区域的边界应力应变曲线是不光滑的。Rusch模型可以描述的两个力的总和：σ(𝜀)=𝑎𝜀−𝑝+𝑏𝜀𝑞(4)这里的四个参数，a、b、p和q，可以根据经验确定。虽然这个模型通过一个方程描述了应力-应变关系，它的缺点在于不能精确描述致密化的阶段。为更好适用泡沫材料在实验中的应力应变关系。刘和苏巴斯建议式(5)所示的模型。这种模式具有六个参数。设置B作为一个单元，把它变成一个五参数模型。𝜎(𝜀)=𝐴𝑒𝛼𝜀−1𝐵+𝑒𝛽𝜀+𝑒𝐶(𝑒𝛾𝜀−1)(5)最近，一个模型被Avalle等人提出。如下所示。𝜎(𝜀)=𝐴(1−𝑒−(𝐸𝐴)𝜀(1−𝜀)𝑚)+𝐵(𝜀1−𝜀)𝑛(6)该模型还具有五个参数。参数E、A和B与密度相关而m和n不是。第一项适合弹性区和平坦区，而第二项适合致密区。虽然这个模型很好的描述了聚合物泡沫的应力-应变曲线，但它没有包括因动态加载下对于应变率的影响。2.2包括应变率效应的模型包括应变率效应的模型由Nage等人提出。𝜎𝑑=𝑓(𝜀)𝑀(𝜀,𝜀̇)(7)这里的𝜎𝑑是工程压应力，𝑓(𝜀)是应变的形状函数，代表了在参考应变速率𝜀̇0和𝑀(𝜀,𝜀̇)下应力应变的关系。应变速率的功能，是一种应变和应变率的函数，在参考应变率时的单位价值。Sherwood和Frost所描述的形状函数的十分之一阶多项式函数的应变，其系数是确定从压缩试验的参考应变率。应变率函数的假设，即模型图的应力与应变率的假设，表现出的线性函数的应变可以表示如下：𝑓(𝜀)=∑𝐴𝑛10𝑛=0𝜀𝑛(8)5𝑀(𝜀,𝜀̇)=(𝜀̇𝜀̇0)𝑎+𝑏𝜀(9)双参数，a和b，可以发现通过线性近似的实验的应力-应变率数据的几个应变率。由于描述Eqs的形函数。（7）和（8）只不过是一个应力-应变方程，它取代模型（6）的五个参数比使用十分之一阶多项式更有效。应变率的函数方程（9）是基于在一定的应变-应力数据曲线情况下具有线性应变函数的假设。仔细检查实验数据表明，这是不正确的，特别是对于半柔性聚氨酯。引入了一个新的应变率函数来描述应力与应变率的对数曲线图，该曲线是凹的，在恒定应变下：𝑀(𝜀,𝜀̇)=1+(𝑎+𝑏𝜀)ln(𝜀̇𝜀̇0)(10)通过替换式的形状函数和应变速率的公式（6）、函数（7）和式（10），分别为应力-应变方程，包括应变率效应推导：σd=σ(ε){1+(𝑎+𝑏𝜀)ln(𝜀̇𝜀̇0)}={𝐴(1−𝑒−(𝐸𝐴)𝜀(1−𝜀)𝑚)+𝐵(𝜀1−𝜀)𝑛}{1+(𝑎+𝑏𝜀)ln(𝜀̇𝜀̇0)}(11)该模型方程（11）有七个参数。这些参数的确定分为2个步骤。首先，在参考应变率下，五个参数，E、A、B、m和n，确定通过拟合实验的应力-应变数据。然后，剩余的2个参数，a和b，是通过线性近似的实验的应力-应变数据的另一个应变率被发现的。大多数的参数被认为是依赖于材料的密度和温度。因此，两步实验应该在同一密度和温度下进行。表1从曲线拟合计算的五个参数ABEmn0.38630.315113.99963.41621.3680图1聚氨酯泡沫塑料试样63.实验与参数辨识3.1低密度聚氨酯泡沫塑料模型准静态测试是在位移测量装置和力传感器安装形成的室温下，使用具有100kN大负荷容量的MTS810机器进行的。密度为67kg/m3的开孔式圆柱聚氨酯泡沫（如图1所示，由韩国lacomtech有限公司提供）是在室温下测试。试样的直径和长度分别为42毫米和40毫米，分别为。准静态试验在0.001s−1的应变速率进行了应力应变实验数据。五个参数方程（6）采用最小二乘法进行数据拟合。参数的计算会被拟合曲线点的数目所影响。表1显示的参数，是通过拟合33个应力-应变实验数据点得到的。实验和装配的应力-应变曲线，如图2所示。拟合曲线很接近实验曲线。（11）式中a和b，这两个参数的确定，在另一个应变率的实验数据是必要的。这个实验用密度同为67kg/m3的聚氨酯泡沫在应变速率为0.1s−1的情况下进行的。因为在应变速率为0.001s−1时采用最小二乘法得到五个参数，所以a和b两个参数是由方程的本构方程拟合实验数据确定。表2中的数据通过最小二乘法拟合实验数据计算得出的参数。如图3所示，应力-应变曲线很接近实验数据。表2从曲线拟合计算的二个参数ab0.04010.1222图2应力-应变关系图3应力-应变关系(𝜌=67𝐾𝑔/𝑚3,𝜀̇0=0.001𝑠−1)(𝜌=67𝐾𝑔/𝑚3,𝜀̇0=0.1𝑠−1)获得构成所有参数接近的亲双准静态实验的本构模型，所得到的应力-应变7曲线可以得到任何应变率。如图4所示，0.001，0.01，0.1，1，10，和100s−1这六个应变率的值分别代入式（11）得到六条应力-应变曲线。其中应变率为0.001s−1对应最低的曲线。对于在相同的应变下，当泡沫的应变速率更高时，更多的能量将被储存在泡沫中。用本构方程拟合得到七个参数，用本构方程拟合得到了67kg/m3的聚氨酯泡沫体在动态载荷作用下的应力应变关系。经验证，方程可以采用动态压缩试验。图4应变率的应力-应变关系图5应力-应变关系(𝜌=67𝐾𝑔/𝑚3)(𝜌=67𝐾𝑔/𝑚3,𝜀̇0=97𝑠−1)落塔型冲击试验机（英斯特朗Dynatup9250HV）进行动态测试。本机可提高离散变量到一个特定的高度，下降到试样使用引力或加速弹簧。当26.5Kg的重物冲击试样，测量的冲击速度为3.88米/秒，并计算应变速率为97s−1。图5中的实心线显示了实验的应力-应变关系，虚线描述了本构模型的关系。虽然它不遵循的动态效果的振荡，但是该模型接近的实验结果。3.2高密度聚氨酯泡沫塑料图6应力-应变关系图7应力-应变关系(𝜌=89𝐾𝑔/𝑚3,𝜀̇0=0.001𝑠−1)(𝜌=89𝐾𝑔/𝑚3,𝜀̇0=0.1𝑠−1)8进行了89kg/m3的高密度聚氨酯泡沫塑料的准静态测试。第一，在应变速率为0.001s−1应力-应变的实验数据通过采用最小二乘法拟合得到方程（6）的五个参数。实验和拟合应力-应变曲线如图6所示。拟合曲线很接近实验曲线。另一个静态应变率的实验数据都需要找到两参数方程a和b（11）。在应变速率为0.1s−1的准静态试验，通过曲线拟合得到的参数。如图7所示，应力-应变曲线很接近实验数据。由于所有的本构模型的参数已被发现，应力-应变曲线可以得出任何应变率。将0.001，0.01，0.1，1，10，和100s−1这六个应变率分别代入式（11），在图8中绘制成应力-应变曲线。图8应变率的应力-应变关系图9应力-应变关系(𝜌=89𝐾𝑔/𝑚3)(𝜌=89𝐾𝑔/𝑚3,𝜀̇0=97𝑠−1)要确定该模型是否能在高应变率和动态压缩试验中工作。当重物冲击试样时，撞击速度为3.88米/秒，计算为应变速率为97s−1。实验绘制的应力-应变曲线与所提出的本构模型进行比较。图9中的实心线显示了实验的应力-应变关系，虚线描述了本构模型的关系。在非常低的应变率的情况下，由于本构模型的参数是由2个准静态实验得到，这种模型不能跟随动态效果的振荡实验。图5和图9的实验结果表明，试样的密度越高，进行的的振荡越大。3.3应力与应变率得到模型的所有参数后，可以绘制在不同规模水平下参数记录的应变率。如图10所示，67kg/m3的低密度聚氨酯泡沫。如图11所示，89kg/m3的高密度泡沫的应力-应变