各向同性材料弹性常数间的关系推导

*§8－8各向同性材料弹性常数之间的关系在建立应力和应变间的关系时，对于各向同性材料，引用了三个弹性常数，它们是E、G、μ。§3－3中曾经提到，三个弹性常数之间存在着以下关系2(1)EG(8-21)现在就证明这个关系。图8－22变一纯剪切应力状态下的单元体。根据倒8－3的分析，主应力σ1存在于α0＝－45°的主平面上，σ3存图8－22在于α0＝－135°的主平面上，且σ1＝－σ3＝τ。将σ1和σ3代入公式（8－18）1123223133121[()]1[()]1[()]EEE(8－18)（单元体的周围六个面皆为主平面时，广义胡克定律）并令σ2＝0，得出σ1方向的线应变为1131()(1)EE(a)此外，由剪切胡克定律，可以求得直角xoy的剪应变xy为xyxyGG（b）对单元体abcd来说，由于0xyz，故有0xy。将所求出的x、y、xy代入公式（8－11），cos2sin2222xyxyxy（8－11）（平面应变状态分析），并令45，再次求得沿σ1方向的应变为12xy将（b）式代入上式，得12G（c）令（a）,(c)两式相等，便可得到需要证明的关系式2(1)EG，因为广义胡克定律只适用于各向同性材料，因而由广义胡克定律导出的以上关系式，也只适用于各向同性材料。以上参考《材料力学》刘鸿文主编第二版上册§8－9复杂应力状态下的变形比能这一章能过变形比能推导。如果应力和应变关系是线性的，变形比能的公式12u。于是三向应力状态下的应变能为112233111222u，以应变的广义胡克定律1123223133121[()]1[()]1[()]EEE（8－18）代入上式，整理得2221231223311[)2()]2uE8-24以上参考《材料力学》刘鸿文主编第三版上册