合工大2009级考研数值分析试卷

12009级一、判断题(下列各题，你认为正确的，请在题后的括号内打“√”，错误的打“×”，每题2分，共10分)1.若53()23fxxx，则[0,1,2,3,4,5]5!f.(×)2.若0()d()nbiiaifxxAfx是插值型求积公式，则它的代数精度正好是n.(×)3.若n阶方阵A是严格对角占优的，则解方程组Axb的Jacobi迭代法收敛。(√)4.设*x是方程0)(xf的根，则求*x的Newton迭代法至少是平方收敛的。(×)5.解常微分方程初值问题的二阶Runge-Kutta方法的局部截断误差是3()Oh，其中h是步长.(√)二、填空题(每空2分，共20分)1.近似数*3.120x关于准确值3.12065x有3位有效数字，相对误差是0.0002083或0.021%.2.设(0,1,,)ixin是互异的节点，()ilx是Lagrange插值基函数，则0()niilx1，0()nkiiixlxkx(0,1,,kn).3.设函数(2.6)13.4673,(2.7)14.8797,(2.8)16.4446fff,用三点数值微分公式计算(2.7)f(13.3615)14.8865(16.4115),(2.7)f15.2500.4.设2543A，则1A8，A7，1Cond()A4.5.设二元函数(,)fxy在区域D上关于y满足Lipschitz条件是指：存在常数0L，对任意12(,),(,)xyxyD，恒有1212(,)(,)fxyfxyLyy.2三(本题满分10分)已知列表函数ix－1012()ifx0-5-63用差商法求满足上述插值条件的Newton插值多项式（要求写出差商表）。解构造差商表()10055161223951iixfx一阶差商二阶差商三阶差商所求Newton插值多项式为233()05(1)2(1)(0)(1)(0)(1)542pxxxxxxxxxx.四(本题满分10分)求01,cc和1x，使下列求积公式10110()d(0)()fxxcfcfx具有尽可能高的代数精度。解对2()1,,fxxx，令10110()(0)()fxdxcfcfx得01112111,1/2,1/3.cccxcx解得0114,34cc,123x.因为1333011014290xdxccx,所以求积公式10132()(0)()443fxdxff具有2次代数精度。.五(本题满分10分)对于下列方程组123123123422,2633,245,xxxxxxxxx3建立Gauss–Seidel迭代公式，写出相应的迭代矩阵，并用迭代矩阵的范数判断所建立的Gauss–Seidel迭代公式是否收敛。解对原方程组，建立Gauss–Seidel迭代公式如下()(1)(1)123()()(1)213()()()322122,41233,6125.4kkkkkkkkkxxxxxxxxx相应的迭代矩阵为1140002101214()26000301651212400001241348GMDLU因为11301244GMq，(或1151345151412484816GMq)所以用解上述方程组的Gauss-Seidel迭代法收敛。六(本题满分10分)分别用两点古典Gauss公式及Simpson公式计算10sind1xIxx的近似值。解121211sin0,1,,,1,()133xabttAAfxx，112222baabxtt，112211111110.211325,2222232311111110.788675,22222323xtxt故41122[()()]21010.21132510.788675210.1731620.3966180.28489.2baIAfxAfxff或令1(1)2xt，则111011112212sin(1)sin(1)sin1ddd11(1)23ttxIxttxtt.12sin(1)()3xfxx,1122()()1131130.28489.IAfxAfxff10sin10sin0sin0.5sin1d4161010.5111040.3196170.4207350.283201.6xIxx七(本题满分10分)已知方程10xxe在00.5x附近有一个实根*x.(1)取初值00.5x，用Newton迭代法求*x（只迭代两次）。(2)取初值010.5,0.6xx，用弦截法求*x（只迭代两次）。解(1)()1xfxxe，()(1)xfxxe，据此建立Newton迭代公式1()1,0,1,()(1)kkxkkkkkxkkfxxexxxkfxxe取初值5.00x，则00110.50100.500.5710201210.571020110.510.50.571020,(1)(0.51)10.57102010.5710200.567156.(1)(0.5710201)xxxxxeexxxeexeexxxee(2)弦截格式为5111111()()()1,1,2,.11kkkkkkkkkkxkkkkxxkkxxxxfxfxfxxxxxekxexe取初值010.5,0.6xx，代入上式计算得：230.565315,0.567095xx.八(本题满分10分)分别用Euler方法及改进的Euler方法求下列初值问题（取步长5.0h）d2,01,d(0)1.yxyxxyy解因为002(,),0,(0)1,0.5,xfxyyxyyhyEuler方法为10(,),1,nnnnyyhfxyy即100020(,)10.511.5,1yyhfxy211120.5(,)1.50.51.51.916667.1.5yyhfxy改进的Euler方法为1111(,),[(,)(,)],2nnnnnnnnnnyyhfxyhyyfxyfxy预报：校正：于是100010001120(,)10.5(1)1.5,10.52020.5[(,)(,)]1[(1)(1.5)]1.4583,2211.5yyhfxyhyyfxyfxy6211121112220.5(,)1.45830.5(1.4583)1.8446,1.4583[(,)(,)]20.520.5211.4583[(1.4583)(1.8446)]1.8415.21.45831.8446yyhfxyhyyfxyfxy九(本题满分10分)设()sx是[0,2]上的三次自然样条：30321()234,01,()()(1)(1)(1)3,12.sxxxxsxsxaxbxcxx求,,abc.解因为S(x)是[0,2]上的三次自然样条，所以有01(10)(10)SS,01(10)(10)SS,1(2)(2)0,SS即2211633(1)2(1)xxxaxbxc,11126(1)2xxxaxb,26(1)20xaxb,亦即3,122,620.cbab解得2,6,3abc.