合工大2012矩阵理论试卷

1.设线性空间V为由基函数1234cos,sin,cos,sinatatatatxebtxebtxtebtxtebt生成的实数域上的线性空间，令1234cos(1),sin(1),cos(1),sin(1)atatatatyebtyebtytebtytebt（1）分别求向量1234,,,yyyy在基函数1234,,,xxxx下的坐标；（2）证明：1234,,,yyyy也为V的一组基；（3）求1234,,,yyyy到1234,,,xxxx的过渡矩阵。2.设线性空间22R中的矩阵0140B，定义22R中的一个变换T为22(),TXXBXR。（1）证明：T是线性变换；（2）求T在基111000E，120100E，210010E，220001E下的矩阵；（3）求22R的一组基，使T在这组基下的矩阵为对角阵。3.设12345,,,,eeeee是5R中的一组标准正交基，123,,VSpan，其中1135eee，2124eee，3123453232eeeee，求V的一组标准正交基。4.设T为欧氏空间3R中的线性变换，对3(,,)xyzR，令(,,)(coscossinsincos,cossincossinsin,sincos)Txyzxyzxyzxz（1）求线性变换T在基123(100),(010),(001)TTT下的矩阵；（2）证明：T为正交变换。5.设102A=0-11010（1）设8542()234fxxxxx，求()fA；（2）求参数a，b，使12AaAbE。6.设31-112-1210A（1）求A的不变因子、初等因子和最小多项式；（2）求A的约当标准形；（3）求Ate。7.设11-10541510A，试讨论幂级数21(1)kkkkA的敛散性。8.设aA是nnC上相容的矩阵范数，D是n阶可逆矩阵，证明对任意nnAC，-1baADAD是nnC上相容的矩阵范数。矩阵理论试卷（A）（2008级）(共1页)成绩学院班级＿＿＿;姓名＿＿＿＿＿；学号＿＿＿＿＿1（15分）给定2222{()|}ijijRAaaR（数域R上二阶实方阵按通常矩阵的加法与数乘构成的线性空间）的子集221122ij{()|0,}ijVAaaaaR（1）证明V是22R的子空间；（2）求V的维数和一组基；（3）求3253A在所求基下的坐标。2（15分）设为n维欧氏空间V中的单位向量，对V中任意一向量x,定义线性变换:()2(,)TTxxx,（1）证明：T为正交变换；（2）证明T对应特征值1有n-1个线性无关的特征向量；（3）问T能否在某组基下的矩阵为对角阵，说明理由。3（15分）设矩阵010120110A（1）求A的若当标准形；（2）求A的最小多项式；（3）计算532()45gAAAAE。4（10分）设3R中的线性变换T如下：123122323(,,)(2,,);()iTxxxxxxxxxxR(1)写出T在基TTT123=(1,1,0),=(0,1,1),=(0,0,1)下的矩阵；(2)求3()TR及()KerT。5（10分）已知多项式矩阵2210007(2)00()00(1)0000(1)(5)A，求()A的初等因子及史密斯标准形。6（10分）在欧氏空间4R中，对任意两个向量12341234(,,,),(,,,),TTaaaabbbb定义内积11223344(,)2abababab求齐次方程组123412320=0xxxxxxx的解空间的一组标准正交基。7（10分）(1)设A为可逆矩阵,证明对任何矩阵的算子范数,都有11||||||||AA。（2）设2151236311684iiA,利用(1)的结论分别估计11||||A和||||1A的下界。8（15分）已知200111113A,求矩阵函数()etfAA。1.给定线性空间3R的两组基：123123(1,0,1),(2,1,0),(1,1,1),(1,2,-1),(2,2,-1),(2,-1,-1).试求从基123,,到基123,,的过渡矩阵。2.设线性空间2222()ijijRAxxR（数域R上二阶实方阵按通常矩阵的加法与数乘构成的线性空间）的子集221122()0,ijijVAxxxxR（1）给定V的变换()()TTXXXXV，验证T是V上的线性变换；（2）求V的一组基及T在该基下的矩阵；（3）求T的全体特征值和特征向量。3.设V为n维欧氏空间，为V中一个固定的非零向量，证明：（1）1(,)0,VxxxV是V的一个子空间；（2）1V的维数为1n。4.在3Rx中定义内积11(,)()()fgfxgxdx，（1）求对基21,xx，正交单位化所得3Rx的一组标准正交基；（2）求2()1fxx在上述标准正交基下的坐标。5.设202-1311-13A（1）证明：在任意的数域F上，A都不可能相似于一个对角阵；（2）设432()10365632fxxxxx，计算()fA。6.设nnAC，MA为满足相容性条件的矩阵范数，TA为从属于某向量范数x的算子范数，E为n阶单位矩阵。求证：（1）1ME；（2）1TE。7.设200021012A，21,nSxxxC，求：（1）矩阵A的算子范数1A和A的值；（2）2Ax在S上的最大值。8.已知110430102A，（1）求A的约当标准形J及相似变换矩阵P使得1PAPJ；（2）求矩阵函数()AfAe。