吉林大学2006年考研数学分析高等代数

吉林大学2006年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷一、（共30分）判断题1、若函数fx在,ab上Riemann可积，则2fx在,ab也Riemann可积；2、若级数1nna收敛，则级数1nna也收敛；3、任何单调数列必有极限；4、数列1n的上、下极限都存在；5、区间,ab上的连续函数必能达到最小值；6、sinx在整个实轴上是一致连续的；7、若函数,fxy沿着任何过原点的直线连续，则,fxy在0,0连续；8、若函数fx在点0x取极小值，则00fx；9、若00fx，00fx，则fx在点0x取极大值；10、向量场222222,,xyyzzx是无源场。二、（共20分）填空题1、设sinuxyxyz，则gradu；2、设,,Fxyyzzx，则divF；3、设,,Fxyzyzxzxy,则rotF；4、设s表示单位球面2221xyz，则第一型曲面积分2sxds；5、数列2211nnn的下极限为；三、（共20分）计算下列极限1、1200611limnnnkk；2、301lim1213xxxx；3、111lim200620071nnnnnL；4、120lim1nnxdxxx。四、（共20分）判断下列级数的敛散性1、1200620072005nnnn；2、1nnu，其中2120,,1,2,1nnnunununL五、（10分）设函数fx在0,1两次连续可微，满足010ff且100fxdx。证明：存在0,1使得0f。六、（10分）计算第二型曲线积分2222343434Cxydxdyxyxy其中C为单位圆周221xy，方向为顺时针方向。七、（10分）证明，对任意0x，都有3sin6xxx八、（10分）设,,,ab均为常数，且对任意x都有sinxxaxb证明：0ab九、（10分）证明，不存在0,上的正的可微函数fx，满足0fxfx十、（10分）试构造区间0,1上的函数序列nfx，具有如下性质：（1）对每个n，nfx是0,1上的正的连续函数；（2）对每个固定的0,1x，lim0nnfx；（3）10limnnfxdx高等代数与空间解析几何卷一、（共32分）填空1、平面上的四个点,1,2,3,4iixyi在同一个圆上的充要条件为_____。（要求用含有,iixy的等式表示）；2、设方阵A只与自己相似，则A必为_____；3、设111222333abcAabcabc为可逆矩阵，则直线121212xyzaabbcc与直线232323xyzaabbcc的位置关系为_____。（要求填写相交、平行、重合、异面四者之一）；4、设1234,,,A为四阶正方矩阵，其中1234,,,均为四维列向量；1242，1233，且234,,线性无关。求线性方程组AX的通解_____；二、（16分）求二次曲面22224246120xyzxzxyz的主方向；三、（17分）设V为n维欧式空间，12,,,nuuuL与12,,,nvvvL为V中向量，12,,,nuuuL线性无关，且对任意的,,1,2,,ijijnL均有ijijuuvv。证明，必有V上的正交变换，使得1,2,,iiuvinL四、（17分）设V为数域上的n维向量空间，,均为V上的线性变换，且满足0。证明：五、（17分）设A为实对称矩阵，证明，必有实对称矩阵B，使得AB为正定矩阵。六、（17分）设V为数域上的2n维向量空间，为V上的线性变换，且KerV。证明，存在V的一个适当基底及Jordan形矩阵A，使得在该基底下恰好对应矩阵A。七、（17分）设V为实数域上的全体n阶方阵在通常的运算下所构成的向量空间，为V上的线性变换，且对任意的A，TAA。1、求的特征值；2、对于每一个特征值，求其特征子空间；3、证明V恰为的所有特征子空间的直接和。八、（17分）设ijnnAa为n阶实方阵，若对任意的1,2,,iinL均有1,niiijijiaa，则称A为对角占优矩阵。证明，对角占优矩阵必为可逆矩阵。