吉林省城市污水处理特许经营管理办法

6第2章碰撞2-1如图所示，用打桩机打入质量为50kg的桩柱，打桩机的重锤质量为450kg，由高度h=2m处落下，其初速度为零。如恢复因数k=0，经过一次锤击后，桩柱深入1cm，试求桩柱进入土地时的平均阻力。解：系统运动分三个阶段。（1）重锤下落阶段，获得速度ghv21。（2）碰撞阶段，锤初速v1，桩初速零，因k=0，锤、桩末速相同，设为v，碰撞过程中重力、土地阻力可忽略，故动量守恒：vmmvm)(2111ghmmmmmvmv22112111（3）桩柱入土阶段，初速v，末速零，阻力F，行程s，根据动能定理得22121)(210)(vmmgsmmsF解出：)()(2)()(21212122121mmsghmgmmvsmmgmmF把m1=450kg，m2=50kg，h=2m，s=0.01m，g=9.8m/s2代入解得kN799N798700F2-3球1速度v1=6m/s，方向与静止球2相切，如图所示。两球半径相同、质量相等，不计摩擦。碰撞的恢复因数k=0.6。求碰撞后两球的速度。解：两球应在如图30位置碰撞，设碰撞点法线方向如图示；0m/s,3m/s330sinm/s,3330cost2t1t11t11n1uvuvvvv1nn1n26.0vuu（1）动量mu2n+mu1n=mv1n即u2n+u1n=v1n（2）（1）+（2）2u2n=1.6v1nm/s16.4338.08.0nn22vuu代入式（1），得方向如图m/s18.3304.1m/s04.1336.016.46.0222t12n111n2n1nuuuvuu与切线夹角，1.19tant11nuuarc72-5一均质杆的质量为m1，长为l，其上端固定在圆柱铰链O上，如图所示。杆由水平位置落下，其初速为零。杆在铅直位置处撞到一质量为m2的重物，使后者沿着粗糙的水平面滑动。动滑动摩擦因数为f。如碰撞是非弹性的，求重物移动的路程。解：过程分三阶段：1）杆自水平位置下落至铅直位置，与重物碰前瞬时的角速度为1（见图a），由动能定理确定：lglgmlm3231211121212）杆与重物碰撞。设杆碰撞末角速度2，物块碰撞末速度v2，则因非弹性碰撞，有22lv系统在碰撞过程中对O点动量矩守恒：lgmmmmmmlmlmlm33333211121122222211213）碰后重物开始滑动至停止。设路程为s，则由动能定理：2212122222222)3(232210mmmflgflsgfsmlm2-7如图所示，在测定碰撞恢复因数的仪器中，有一均质杆可绕水平轴O转动，杆长为l，质量为m1。杆上带有用试验材料所制的样块，质量为m。杆子受重力作用由水平位置落下，其初角速度为零。在铅直位置时与障碍物相碰。如碰撞后杆子回到与铅直线成角处，求恢复因数k。又问：在碰撞时欲使轴承不受附加压力，样块到转动轴的距离x应为多大？解：系统运动分下落，碰撞、回跳三阶段。1）下落，设杆子下落到最低处角速度为1，（见图a）由动能定理，有mgxglmxmlm2232112122121解出gmxlmmxlm22112132（1）2）碰撞，设杆子碰后回跳角速度为2（见图a），则恢复系数为：1212vvk（2）3）回跳，杆子在回跳过程中机械能守恒，设回跳最大角为，样块在最低位置为零势能点，则有)cos1)(2(2612222221mgxglmxmlm解出：2211223)cos1()2(mxlmgmxm（3）8把式（1），（3）代入式（2），得：2sin2cos12122k下面考虑轴承无附加冲量的条件（图a及b）。设碰撞过程中样块受冲量Ix，轴承受冲量IOx，据动量矩定理有xImxlmx)()3(12221（4）据动量定理有AxxIImxlmmxlm)2(2111221（5）若轴承无冲量，0AxI（6）将式（4）、（5）、（6）联立，解得：32lx即均质杆一端用铰链悬挂时，若撞块放在距铰链为32长度处，撞击时轴上不受冲击力。可以证明，若只有均质杆，无撞块，杆的撞击中心也在l32处。若杆的质量可不计，则撞块放在任何位置，轴上都不会有冲击力。2-9图示一均质圆柱体，质量为m，半径为r，沿水平面作无滑动的滚动。原来质心以等速vC运动，突然圆柱与一高为h（hr）的凸台碰撞。设碰撞是塑性的，求圆柱体碰撞后质心的速度Cv、柱体的角速度和碰撞冲量。解：碰撞前，圆柱纯滚动，角速度rvC碰撞后，柱体绕凸台O转动，设其角速度为，质心速度为v，方向垂直OC（见图a）。碰撞前，柱体对O的动量矩：CCOJhrmvL)(碰撞后，柱体对O的动量矩：)(2mrJLCO设碰撞冲量分解为沿OC的In及与之垂直的tI，且tI，In作用于O点，因此圆柱体对O点动量矩守恒，即：)()(2mrJJhrmvCCCCCCCvrvrrhrrhrrvrmJ3cos213)(21cos,,229此时质心的速度CCvrv)cos21(31根据动量定理在法向n与切向t的投影式：ttnn0ImvvmImvCCC其中cos,sinτnCCCCvvvv由以上各式解出：3cos1,sintnCCmvImvI其中rhrcos2-11图示一球放在光滑水平面上，其半径为r。在球上作用一水平碰撞力，该力冲量为I，求当接触点A无滑动时，该力作用线距水平面的高度h应为多少？解：冲击前球静止，设冲击后质心速度为vC，球的角速度为，球纯滚动，A点为其速度瞬心，则有rvC(1)考虑到球的质心C至其速度瞬心A的距离保持不变，故可应用对A点的动量矩定理：Ihmr)0(572（2）质心动量定理：m(vC–0)=I（3）由式（1）、（2）、（3）可解出：rh572-13两均质杆OA和O1B，上端铰支固定，下端与杆AB铰链连接，静止时OA与O1B铅直，而AB水平，如图所示。各铰链均光滑，三杆质量皆为m，且OA=O1B=AB=l。如在铰接A处作用一水平向右的碰撞力，该力的冲量为I，求碰撞后OA杆的最大偏角。解：由所给几何条件可知：OA，O1B杆转角恒相等，角速度同为，AB杆始终保持水平，作平动，且lvvBA（见图a）。1）碰撞阶段，各杆的受力图如图（b）。OA杆，对O点的冲量矩定理为：lIImlAx)(32（1）AB杆，水平冲量定理为：)(BxAxIIlm（2）O1B杆，对O1点的冲量矩定理为：lImlBx32（3）10由式（1）、（2）、（3）解得：mlI53（逆时针向）2）向上摆阶段，全系统机械能守恒，以静平衡位置为零势能位置，则有)cos()cos22(2)(23212222llmgllmglmlm即2sin4)cos1(265222mglmgllmglmglIgl30202452sin2-15如图所示，汽锤质量m1=3000kg，以5m/s的速度落到砧板上，砧座连同被锻压的铁块质量为m2=24000kg。设碰撞是塑性的，试求铁块所吸收的功W1、消耗于基础振动的功W2和汽锤的效率。解：碰撞阶段，基础有柔性，抗力远小于汽锤与铁块的碰撞力，故可认为m1，m2系统动量守恒，根据题意为塑性碰撞，即21vv，故有：22111)(vmmvm解得m/s952400030005300021112mmvmv系统初动能：J37500212111vmT碰撞后剩余动能：J4167)(2122212vmmT铁块吸收动能=碰撞损失动能=T1-T2=33333J汽锤效率%8989.0121TTT消耗于基础振动的功=碰撞剩余动能=4167J