吉林省长白山一高2013学年高二数学全册综合测试1新人教A版必修2

1必修2全册综合测试(1)时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知点A(a,3)、B(－1，b＋2)且直线AB的倾斜角为90°，则a、b的值为()A．a＝－1，b∈R且b≠1B．a＝－1，b＝1C．a＝3，b＝1D．a＝3，b＝－12．不论m为何值，直线(m－2)x－y＋3m＋2＝0恒过定点()A．(3,8)B．(8,3)C．(－3,8)D．(－8,3)3．如图所示，在长方体中，AB＝12，BC＝6，AA′＝5，分别过BC和A′D′的两个平行平面将长方体分为体积相等的三个部分，那么F′D′等于()A．8B．6C．4D．34．对于直线m、n和平面α、β，能得出α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β5．如图，定圆半径为a，圆心为(b，c)，则直线ax＋by＋c＝0与直线x－y＋1＝0的交点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．方程|x|－|y|＝1的曲线是()27．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体A－BCD，则在四面体A－BCD中，下列说法正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABD8．过点P(－2,4)作圆(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线l1ax＋3y＋2a＝0与l平行，则l1与l间的距离是()A.285B.125C.85D.259．光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，则有()A．a＝13，b＝6B．a＝－13，b＝－6C．a＝3，b＝－16D．a＝－3，b＝1610．圆柱的侧面展开图是一个边长为2πa的正方形，则这个圆柱的体积是()A．2π2a3B．π2a3C.π22a3D.π23a311．直线y＝ax＋b过第一、三、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝r2(r0)的圆心在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限12．(2009·福建)如图1，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12.则该几何体的俯视图可以是()3二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．过点P(－2,0)作直线l交圆x2＋y2＝1于A、B两点，则|PA|·|PB|＝________.14．一个正四棱柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则它的体积为__________．15．已知a、b、c为某一直角三角形的三边长，c为斜边，若点P(m，n)在直线ax＋by＋2c＝0上，则m2＋n2的最小值为________．16．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中两个为条件，余下的一个为结论，构成三个命题，写出你认为正确的一个命题：__________________.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)设A(1，－2，x)，B(x,3,0)，C(7，x,6)，且A、B、C三点能构成直角三角形，求x的值．18．(本题满分12分)四面体P－ABC中，已知PA＝3，PB＝PC＝2，∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝60°.求证：(1)PA⊥BC；(2)平面PBC⊥平面ABC.19．(本题满分12分)下面三条直线l1：4x＋y＝4，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my＝4不能构成三角形，求m的取值集合．20．(本题满分12分)如图，已知棱锥S－ABCD，底面为正方形，SA⊥底面ABCD，AB＝AS＝a，M、N分别为AB、SC的中点．(1)求四棱锥S－ABCD的表面积；(2)求证：MN∥平面SAD.21．(本题满分12分)如图，一直角梯形ABCD的上、下底分别为CD＝3，AB＝33，高AD＝2，求以腰BC所在直线为轴旋转一周所形成的旋转体的表面积．22．(本题满分14分)已知⊙C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0.(1)若⊙C的切线在x轴、y轴上截距相等，求切线的方程．4(2)从圆外一点P(x0，y0)向圆引切线PM，M为切点，O为原点，若|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的P点坐标．1[答案]A[解析]∵直线AB的倾斜角为90°，∴AB⊥x轴，∴a＝－1，b∈R且b≠1.2[答案]C[解析]直线方程(m－2)x－y＋3m＋2＝0可化为m(x＋3)－2x－y＋2＝0，∴x＝－3时，m∈R，y＝8，故选C.3[答案]C[解析]换个观察角度来看几何体，三部分都是以BC为高，底面分别为△AEA′，▱EBE′A′和△BE′B′的棱柱，由于它们体积相等，故底面积相等，所以S△AEA′＝13S矩形ABB′A′，所以AE＝23AB，F′D′＝E′A′＝BE＝13AB＝4，故选C.4[答案]C[解析]对于选项C，∵m∥n，n⊥β，∴m⊥β，又∵m⊂α，∴α⊥β.5[答案]C[解析]由题意a0，b0，c0，∴－ab0，－cb0，直线过一、二、三象限，结合图形可知，它与直线x－y＋1＝0的交点在第三象限．6[答案]A[解析]方程|x|－|y|＝1，即x－y＝1(x≥0，y≥0)x＋y＝1(x≥0，y0)－x－y＝1(x0，y≥0)－x＋y＝1(x0，y0)故选A.7[答案]D[解析]∵AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠BDC＝90°，即BD⊥CD，又∵面ABD⊥面BCD，面ABD∩面BCD＝BD，CD⊂面BCD，∴CD⊥面ABD，又CD⊂面ADC，∴面ADC⊥面ABD.8[答案]B[解析]直线l1的斜率K＝－a3，l1∥l，又l过P(－2,4)，∴ly－4＝－a3(x＋2)，即ax＋3y＋2a－12＝0，又直线l与圆相切，∴|2a＋3×1＋2a－12|a2＋9＝5，∴a＝－4，∴l1与l的距离为d＝125，∴选B.9[答案]B5[解析]由题意，直线y＝－3x＋b与直线y＝ax＋2关于直线y＝－x对称，故直线y＝ax＋2上点(0,2)关于y＝－x的对称点(－2,0)在直线y＝－3x＋b上，∴b＝－6，y＝－3x－6上的点(0，－6)，关于直线y＝－x对称点(6,0)在直线y＝ax＋2上，∴a＝－13选B.10[答案]A[解析]因为圆柱的侧面展开图是一个边长为2πa的正方形，所以圆柱的底面半径是a，高为2πa，所以V圆柱＝πa2·(2πa)＝2π2a3，故选A.11[答案]B[解析]∵直线y＝ax＋b过第一、三、四象限，∴a0，b0，∴圆心(－a，－b)在第二象限．12[答案]C[解析]解法一：由题意可知，当俯视图是A时，即每个视图是边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是12，知其是立方体的一半，可知选C.解法二：当俯视图是A时，正方体的体积是1；当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积S＝π×(12)2＝π4，高为1，则体积是π4；当俯视图是C时，该几何体是直三棱柱，故体积是V＝12×1×1×1＝12；当俯视图是D时，该几何体是圆柱切割而成，其体积是V＝14π×12×1＝π4，故选C.13[答案]3[解析]如图所示．|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|＝1×3＝3.14[答案]4[解析]由已知得，正四棱柱的底面边长为1，高为4，体积V＝12×4＝4.15[答案]4[解析]m2＋n2表示直线l：ax＋by＋2c＝0上的点P(m，n)到原点O的距离的平方，又a2＋b2＝c2，故当PO⊥l时，m2＋n2取最小值d，d＝2ca2＋b22＝4c2a2＋b2＝4.16[答案]①②⇒③或(①③⇒②)17[解析]AB2＝2x2－2x＋26，BC2＝2x2－20x＋94，AC2＝2x2－8x＋76，由(2x2－2x＋26)＋(2x2－20x＋94)＝2x2－8x＋76得x2－7x＋22＝0无解；由(2x2－2x＋26)＋(2x2－8x＋76)＝2x2－20x＋94得x2＋5x＋4＝0，∴x1＝－4，x2＝－1；由(2x2－20x＋94)＋(2x2－8x＋76)＝2x2－2x＋26得x2－13x＋72＝0无解，∴x的值为－4或－1.18[解析](1)由PB＝PC＝2，PA＝3，6∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝60°，得BC＝2，AC＝7，AB＝7，取CB中点F，连结AF、PF，在等边三角形BPC中，PF⊥BC.在等腰三角形BAC中，AF⊥BC，∴BC⊥平面PAF，则BC⊥PA.(2)在等边三角形BPC中，高PF＝3，BC＝2，在等腰三角形BAC中，AF＝AC2－BC22＝6，又PA＝3，而(6)2＋(3)2＝32，即PF2＋AF2＝PA2，∴PF⊥AF，又PF⊥BC，∴PF⊥平面ABC，故平面PBC⊥平面ABC.19[解析](1)三条直线交于一点时，由4x＋y＝4mx＋y＝0知l1和l2的交点A44－m，－4m4－m，由A在l3上，可得2×44－m－3m×－4m4－m＝4，得m＝23或m＝－1.(2)至少两条直线平行或重合时，l1，l2，l3至少两条直线的斜率相等，当m＝4时，l1∥l2；当m＝－16时，l1∥l3，若l2∥l3，则需有m2＝1－3m⇒m2＝－23，不可能．综合①、②可知m＝－1，－16，23，4时，三条直线不能组成三角形，因此m的集合为{－1，－16，23，4}．20[解析](1)∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥AB，SA⊥AD，SA⊥BC，又∵BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥SB，同理，CD⊥SD，∴△SAB≌△SAD，△SBC≌△SCD，又∵SB＝2a，∴S表面积＝2S△SAB＋2S△SBC＋SABCD＝2×12a2＋2×12a·2a＋a2＝(2＋2)a2.(2)解法一：取SD中点P，连结MN、NP、PA，如图．7则NP＝12CD，且NP∥CD，又∵AM＝12CD，且AM∥CD，∴NP＝AM，NP∥AM，∴AMNP是平行四边形，∴MN∥AP.∵AP⊂平面SAD，MN⊄平面SAD.∴MN∥平面SAD.解法二：取CD中点Q，连结MQ，NQ，∵M、N是AB、SC的中点，如图所示．∴NQ∥SD，MQ∥AD，∴NQ∥平面SAD，MQ∥平面SAD.又MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面SAD，∴MN∥平面SAD.21[解析]由题设∠ABC＝30°，BC＝4，分别过A、D作AM⊥BC，DN⊥BC垂足为M，N，则AM＝332，DN＝32，所求旋转体的表面积由三部分构成①圆锥B－AM的侧面积S1＝π·AM·AB＝27π2.②圆台MN的侧面积S2＝π(AM＋DN)·AD＝43π.③圆锥C－DN的侧面积S3＝π·DN·CD＝32π.∴S表＝S1＋S2＋S3＝(15＋43)π.22[解析]⊙C：(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心C(－1,2)，半径r＝2.(1)若切线过原点设为y＝kx，8则|－k－2|1＋k2＝2，∴k＝0或43.若切线不过原点，设为x＋y＝a，则|－1＋2－a|2＝2，∴a＝1±22，∴切线方程为：y＝0，y＝43x，x＋y＝1＋22和x＋y＝1－22.(2)x20＋y20＋2x0－4y0＋1＝x20＋y20∴2x0－4y0＋1＝0，|PM|＝x20＋y20＋2x0－4y0＋1＝5y20－2y0＋14∵P在⊙C外，∴(x0＋1)2＋(y0－2)24，将x0＝2y0－12代入得5y20－2y0＋140，∴|PM|min＝510.此时P－110，15.