同济五版线性代数第二章矩阵及其运算

海南大学应用数学系《线性代数》教案答疑电话：[phone]答疑邮箱：[e-mail]4第二章矩阵及其运算教学目的：使学生掌握矩阵的概念，了解矩阵概念产生的背景，使学生掌握矩阵的加、减、数乘、乘法、的运算及运算律。教学重点：矩阵的概念、运算及运算律；矩阵的乘法与转置、逆矩阵的概念和性质教学难点：矩阵的乘法及其运算律；逆矩阵的概念、性质教学过程：第一节矩阵1．先给出矩阵的定义定义：nmijaA)(或nmijnmaA)(（1）再依次介绍实矩阵、复矩阵、n阶方阵nA、行矩阵（行向量）、列矩阵（列向量）、单位矩阵、数量矩阵、矩阵的相等、零矩阵nmO（强调不同阶的零矩阵不同）。2．实际问题中的矩阵表达（学习矩阵的意义）例15个城市间的单项航线（有向图）可用0，1矩阵表示。例2某经济系统有三个企业：煤矿、电厂和铁路。在一年内，企业间的直接消耗系数可用矩阵表示。例3某厂有新产品，市场推销策略有S1、S2、S3三种，市场需求情况有大、中、小三种，分别用N1、N2、N3来表示。其效益可用矩阵表示。例4n各变量nxx,,1到m个变量myy,,1的线性变换（2）一一对应nmijaA)(（2）；恒等变换对应的矩阵nnijE)(叫做单位阵；相似变换对应的矩阵),,(1ndiagA叫做对角阵。说明可用矩阵来研究线性变换，给定一个线性变换便给定了一个矩阵；给定一个矩阵，便给定了一个线性变换。第二节矩阵的运算一矩阵的加法、负矩阵、减法定义：（加法）见P26。同型矩阵才有加法，加法满足交换律、结合律。给出负矩阵的定义，并由此定义矩阵的减法。二矩阵的数乘（数与矩阵的乘法）定义：（数乘）见P27。数乘满足结合律和两个分配律。三矩阵与矩阵的乘法先以两个线性变换的积为例导出两个矩阵之积产生的背景。再给出两个矩阵相乘的定义。定义：（矩阵的乘法）见P27。海南大学应用数学系《线性代数》教案答疑电话：[phone]答疑邮箱：[e-mail]5特别地，s1矩阵),,,(21isiiaaa与1s矩阵Tsjjjbbb),,,(21之积是一个数。即CAB的元素ijc就是A的第i行与B的第j列之积。要掌握矩阵乘法的规律，应该注意以下几点：（1）两个矩阵相乘，只有当前面矩阵的列数等于后面矩阵的行数才能相乘；（2）C=AB的行数等于A的行数，列数等于B的列数；（3）C=AB的),(ji元等于A的第i行的每个元与B的第j列的对应元乘积之和；（4）与数的乘法不同，矩阵乘法不满足交换律，相乘的顺序不能随意颠倒。举例说明矩阵乘法不满足交换律：AB有意义，BA未必有意义；AB与BA都有意义时它们未必是同型的，即使是同型的也未必相等。由此例还知OBOA,时，可以OAB，即矩阵的乘法不满足消去律。单位矩阵在矩阵乘法中的作用：nmnnmnmnmmAEAAAE,。矩阵的乘法例1设nnnnnnCddBaaaaA00,00,111111则有nnnnnnnnnnnnaaaaACadadadadBA111111111111,由此可知：矩阵A左乘对角阵，等于矩阵A的各行依次乘以B的对角元；矩阵A右乘对角阵C，等于矩阵A的各列依次乘以C的对角元。有了矩阵的乘法，可以定义矩阵的乘幂。设A是n阶方阵，定义AAAAAAAAAAAkk12321,,,,只有方阵，方幂才有意义。因矩阵的乘法不满足交换律，因此一般情况下kkkBAAB)(。矩阵的转置定义概念：（1）矩阵的转置；（2）对称阵；（3）反对称阵。矩阵的转置满足四条性质。总结本次课所讲主要内容布置作业第三节逆矩阵逆方阵的概念对从变量nxxx,,,21到变量nyyy,,,21的线性变换（1.6），利用矩阵的乘法，可以记为AXY（1.7）。这里A是n阶方阵，如果可由（1.6）解出nxxx,,,21，得到唯一的表达式（1.8），那海南大学应用数学系《线性代数》教案答疑电话：[phone]答疑邮箱：[e-mail]6么，可以得到一个从nyyy,,,21到nxxx,,,21的线性变换，称此线性变换为（1.6）的逆变换，（1.8）可记为BYX（1.9）。由（1.7）和（1.9）两式得EBAABEBAXBAAXBBYXEABYABBYAAXY)()()()(。定义对A，若B，使EBAAB，则称A可逆，B称为A的逆。逆阵存在时一定唯一：CECACBBEB)(；记BA1。定义对于n阶方阵A，如果矩阵A的逆矩阵存在，则称A是可逆的；如果A的逆阵不存在，则称A是不可逆的。逆方阵的性质性质1如果A可逆，则A有唯一的逆方阵，记为1A。性质2如果矩阵A可逆，且EAB，则必有EBA；如果矩阵A可逆，且EBA，则必有EAB。推论：若EAB或EBA，则1AB。例2设n阶矩阵A，B满足ABBA，证明EA可逆。例3已知n阶矩阵A满足3)(2AEAA，证明AE可逆。例4已知矩阵A满足0322EAA，求1)4(EA。性质3如果n阶方阵A，B都可逆，则AB可逆，并且111)(ABAB。这个性质可以推广到有限个方阵乘积的情况，即121121)(AAAAAAnn。性质4如果方阵A可逆，则1A可逆，而且AA11)(。性质5如果方阵A可逆，则A的每一行都不能全为零，A的每一列也都不能全为零。性质6如果方阵A可逆，则TA可逆，且TTAA)()(11。结论：n阶方阵A，B满足AB=E的充分必要条件为A，B都可逆，且ABBA11,。例1（2003数四）设A，B均为三阶矩阵，E为三阶单位阵，已知AB=2A+B，202040202B，求1)(EA。例2设A，B，A+B均为n阶可逆阵，证明（1）11BA可逆，且BBAABA1111)()(；（2）ABABBBAA11)()(。第四节分块矩阵1．分块矩阵的概念2．分块矩阵的加、减、数乘、乘法运算海南大学应用数学系《线性代数》教案答疑电话：[phone]答疑邮箱：[e-mail]7分块矩阵的加法：（要求BA,有相同的分块法）；分块矩阵的数乘；分块矩阵的乘法：nllmBA,。A、B的分块法满足A的列分法与B的行分法一致：rtijnltsijlmBBAA)(,)(，则rsijCAB)(，其中tkkjikijBAC1，si,,2,1,rj,,2,1。分块矩阵的转置：rsijAA)(，srTijTAA)(3．分块对角矩阵设iiA为ir阶矩阵（si,,2,1），则矩阵ssssAAAAOOOAOOAA221122110为分块对角阵。分块矩阵的加法、数乘、乘法与矩阵的性质类似。对角阵m、n左、右乘nmA时，相应法则是左乘变行、右乘变列。如222112112221211100FAFAAAAAAAFE，其中F满秩矩阵，由满秩阵的性质，F可表示成有限个初等矩阵之积，即21FA是对矩阵21A进行初等行变换的结果。类似地FA12是对矩阵12A进行列变换的结果。总结本次课所讲主要内容布置作业