同济六版高等数学上下册课后习题答案6-3

习题631由实验知道弹簧在拉伸过程中需要的力F(单位N)与伸长量s(单位cm)成正比即Fks(k为比例常数)如果把弹簧由原长拉伸6cm计算所作的功解将弹簧一端固定于A另一端在自由长度时的点O为坐标原点建立坐标系功元素为dWksds所求功为182160260skksdsWk(牛厘米)2直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽设温度保持不变要使蒸汽体积缩小一半问需要作多少功？解由玻马定律知80000)8010(102kPV设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变高度减小x厘米时压强为P(x)牛/厘米2则80000)]80)(10[()(2xxP80800)(xP功元素为dxxPdW)()10(2所求功为2ln8008018000080800)10(4004002dxdxW(J)3(1)证明把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是hRmgRhW其中g是地面上的重力加速度R是地球的半径(2)一颗人造地球卫星的质量为173kg在高于地面630km处进入轨道问把这颗卫星从地面送到630的高空处克服地球引力要作多少功？已知g98m/s2地球半径R6370km证明(1)取地球中心为坐标原点把质量为m的物体升高的功元素为dyykMmdW2所求的功为)(2hRRmMhkdyykMmWhRR(2)533324111075.910)6306370(106370106301098.51731067.6W(kJ)4一物体按规律3ctx作直线运动媒质的阻力与速度的平方成正比计算物体由x0移至xa时克服媒质阻力所作的功解因为3ctx所以23)(cxtxv阻力4229tkckvf而32)(cxt所以34323429)(9)(xkccxkcxf功元素dWf(x)dx所求之功为37320343203432072799)]([akcdxxkcdxxkcdxxfWaaa5用铁锤将一铁钉击入木板设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比在击第一次时将铁钉击入木板1cm如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等问锤击第二次时铁钉又击入多少？解设锤击第二次时铁钉又击入hcm因木板对铁钉的阻力f与铁钉击入木板的深度x(cm)成正比即fkx功元素dWfdxkxdx击第一次作功为kkxdxW21101击第二次作功为)2(212112hhkkxdxWh因为21WW所以有)2(21212hhkk解得12h(cm)6设一锥形贮水池深15m口径20m盛满水今以唧筒将水吸尽问要作多少功？解在水深x处水平截面半径为xr3210功元素为dxxxdxrxdW22)3210(所求功为1502)3210(dxxxW15032)9440100(dxxxx1875(吨米)57785.7(kJ)7有一闸门它的形状和尺寸如图水面超过门顶2m求闸门上所受的水压力解建立x轴方向向下原点在水面水压力元素为xdxdxxdP221闸门上所受的水压力为21252252xxdxP(吨)=2058(kN)8洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体尺寸如图所示当水箱装满水时计算水箱的一个端面所受的压力解建立坐标系如图则椭圆的方程为11)43()43(2222yx压力元素为dxxxdxxyxdP22)43()43(38)(21所求压力为2223022cos43cos43)sin1(4338)43()43(38tdxttdxxxP169cos49202tdx(吨)17.3(kN)(提示积分中所作的变换为txsin4343)9有一等腰梯形闸门它的两条底边各长10m和6m高为20m较长的底边与水面相齐计算闸门的一侧所受的水压力解建立坐标系如图直线AB的方程为xy1015压力元素为dxxxdxxyxdP)5110()(21所求压力为1467)5110(200dxxxP(吨)14388(千牛)10一底为8cm、高为6cm的等腰三角形片铅直地沉没在水中顶在上底在下且与水面平行而顶离水面3cm试求它每面所受的压力解建立坐标系如图腰AC的方程为xy32压力元素为dxxxdxxxdP)3(34322)3(所求压力为168)2331(34)3(34602360xxdxxxP(克)(牛)11设有一长度为l、线密度为的均匀细直棒在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M试求这细棒对质点M的引力解建立坐标系如图在细直棒上取一小段dy引力元素为dyyaGmyadymGdF2222dF在x轴方向和y轴方向上的分力分别为dFradFxdFrydFy2202222022)(1)(laalGmdyyayaaGmdyyaGmraFllx)11()(12202222022laaGmdyyayaGmdyyaGmryFlly12设有一半径为R、中心角为的圆弧形细棒其线密度为常数在圆心处有一质量为m的质点F试求这细棒对质点M的引力解根据对称性Fy0cos2RdsmGdFxdRGmRRdGmcoscos)(2dRGmFx22cos2sin2cos220RGmdRGm引力的大小为2sin2RGm方向自M点起指向圆弧中点