同济大学大一高等数学期末试题(精确答案)

学年第二学期期末考试试卷课程名称：《高等数学》试卷类别：A卷考试形式：闭卷考试时间：120分钟适用层次：适用专业；阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。课程名称：高等数学A（考试性质：期末统考（A卷）一、单选题（共15分，每小题3分）1．设函数(,)fxy在00(,)Pxy的两个偏导00(,)xfxy，00(,)yfxy都存在，则()A．(,)fxy在P连续B．(,)fxy在P可微C．00lim(,)xxfxy及00lim(,)yyfxy都存在D．00(,)(,)lim(,)xyxyfxy存在2．若xyzln，则dz等于（）．lnlnlnln.xxyyyyAxylnln.xyyBxlnlnln.lnxxyyCyydxdyxlnlnlnln.xxyyyxDdxdyxy3．设是圆柱面222xyx及平面01,zz所围成的区域，则(),,(dxdydzzyxf）．212000cos.(cos,sin,)Addrfrrzdz212000cos.(cos,sin,)Bdrdrfrrzdz212002cos.(cos,sin,)Cdrdrfrrzdz21000cos.(cos,sin,)xDdrdrfrrzdz4．4．若1(1)nnnax在1x处收敛，则此级数在2x处（）．A．条件收敛B．绝对收敛C．发散D．敛散性不能确定5．曲线222xyzzxy在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（）.A.（-1，3，4）B.（3，-1，4）C.（-1，0，3）D.（3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分）系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：—————------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------题号（型）一二三四核分人得分总分评卷人1．设220xyxyz，则'(1,1)xz.2．交换ln10(,)exIdxfxydy的积分次序后，I_____________________．3．设22zxyu，则u在点)1,1,2(M处的梯度为.4.已知0!nxnxen，则xxe.5.函数332233zxyxy的极小值点是.三、解答题（共54分，每小题6--7分）1.（本小题满分6分）设arctanyzyx,求zx,zy.2.（本小题满分6分）求椭球面222239xyz的平行于平面23210xyz的切平面方程，并求切点处的法线方程.3.（本小题满分7分）求函数22zxy在点(1,2)处沿向量1322lij方向的方向导数。4.（本小题满分7分）将xxf1)(展开成3x的幂级数，并求收敛域。5．（本小题满分7分）求由方程08822222zyzzyx所确定的隐函数),(yxzz的极值。6．（本小题满分7分）计算二重积分1,1,1,)(222yyyxDdyxD由曲线及2x围成.7.（本小题满分7分）利用格林公式计算Lxyxyxydd22，其中L是圆周222ayx（按逆时针方向）.8.（本小题满分7分）计算zyxxyddd，其中是由柱面122yx及平面0,0,1yxz所围成且在第一卦限内的区域..四、综合题（共16分，每小题8分）1．（本小题满分8分）设级数11,nnnnuv都收敛，证明级数21()nnnuv收敛。2．（本小题满分8分）设函数),(yxf在2R内具有一阶连续偏导数，且2fxx，证明曲线积分2(,)Lxydxfxydy与路径无关．若对任意的t恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,)ttxydxfxydyxydxfxydy，求),(yxf的表达式．参考答案及评分标准一、单选题（共15分，每小题3分）：1.C2D3C4B5A二、填空题（共15分，每小题3分）1.-12.I10(,)yeedyfxydx3.kji242410(1)!nnnxn5.(2,2)三、解答题（共54分，每小题6--7分）1．解：222yxyxz;(3分)yz=xyarctan+22yxxy(6分).2.解：记切点000(,,)xyz则切平面的法向量为0002(2,3,)nxyz满足：00023232xyz，切点为：(1,1,2)或(1,1,2)(3分)，切平面：23299xyzor(4分)，法线方程分别为：112232xyz或者112232xyz(6分)3.解：(1,2)(2,4)f(3分),(1,2)123fl(7分)4.解：)3(31)(xxf=)33(1131x,(2分)因为011)1(nnnxx，)1,1(x,所以0)33(31)1()33(1131nnnxx=01)3()31()1(nnnnx,其中1331x，即60x.(5分)当0x时，级数为031n发散；当6x时，级数为031)1(nn发散,故x1=01)3()31()1(nnnnx，)6,0(x，(7分)5.解：由401284(2)0128zxxzyzyzyzy,得到0x与02zy,(2分)再代入08822222zyzzyx，得到0872zz即81,7z。由此可知隐函数(,)zzxy的驻点为(0,2)与16(0,)7。(4分)由224128zxzy，20zxy，224128zyzy，可知在驻点(0,2)与16(0,)7有0H。(5分)在(0,2)点，1z，因此224015zx，所以(0,2)为极小值点，极小值为1z；(6分)在16(0,)7点，87z，因此224015zx，所以16(0,)7为极大值点，极大值为87z，(7分)6.解：记1101:1102:221yxyDyxD，则21DDD.（2分）故dyxdyxdyxDDD21)()()(222222(4分)320)(232103110222drrddxyxdy4（7分）7.解：L所围区域D：222ayx,由格林公式，可得Lxyxyxydd22=yxyyxxxyDdd))()((22=Dyxyxdd)(22=4π20022πdarrrda.(7分)8.解：如图，选取柱面坐标系计算方便,此时，,10,2π0,10:rz所以rrrrzzyxxydsincosddddd0102π01(4分)=rrdd2sin2130102π=814)42cos(1042π0r.(7分)四、综合题（共16分，每小题8分）1．证明：因为lim0,lim0nnnnuv，（2分）故存在N，当nN时，222()23nnnnnnnuvuvuvu，因此21()nnnuv收敛。（8分）2．证明：因为2fxx，且22()xyxy，故曲线积分2(,)Lxydxfxydy与路径无关．（4分）Oxyz11O…………O…………O…………O…………O装…………O订…………O线…………O…………O…………O…………O因此设)(),(2ygxyxf，从而(,1)1122(0,0)0002(,)0[()]()ttxydxfxydydxtgydytgydy，（5分）(1,)1(0,0)0002(,)0[1()]()tttxydxfxydydxgydytgydy，（6分）由此得120()tgydy0()ttgydy对任意t成立，于是12)(ttg，即12)(),(22yxygxyxf．（8分）一、