北京交通大学(数字信号处理研究生课程)ch5_2FIR窗函数法.

近代数字信号处理(AdvancedDigitalSignalProcessing)电子信息工程学院信号与图像处理研究室FIR窗函数法FIR数字滤波器线性相位FIR数字滤波器的性质窗函数法设计FIR数字滤波器频率取样法设计线性相位FIR数字滤波器线性相位FIR数字滤波器的优化设计利用MATLAB设计FIR数字滤波器FIR窗函数法窗函数法设计FIR数字滤波器设计方法吉伯斯现象常用窗函数Kaiser(凯泽)窗利用Kaiser窗实现多带滤波器FIR窗函数法吉伯斯(1839-1903)出生于康涅狄格新港口市，1854-1858年在耶鲁大学学习,获学士学位。1863年(美国提供授予博士学位的第3年),在耶鲁大学的设菲尔德学院获得工程学博士学1871-1903在耶鲁作数学物理学的教授（1871～1880年约翰斯霍普金斯雇用他时没有工资）。1879年，被选入国家科学协会。窗函数法设计FIR数字滤波器FIR窗函数法窗函数法设计FIR数字滤波器FIR窗函数法窗函数法设计FIR数字滤波器FIR窗函数法问题提出问题：理想滤波器的Hd(ejW)已知，设计一物理可实现的滤波器，使其频率响应逼近Hd(ejW)。)e(π21][jjd2πdkHkhhd[k]一般情况下是非因果无限长序列，需对其进行截短和因果化处理。FIR窗函数法设计方法可实现性处理方案方案一：(1)将hd[k]关于k=0对称截短，即h[k]=hd[k],-LkL(2)将其右移L使其成为因果系统h[k]=hd[k-L]，0k2L只能设计I型或III型线性相位FIR滤波器FIR窗函数法(1)确定线性相位因子ej(-0.5MW+b)和幅度函数Ad(W)(2)计算hd[k]，取其在0kM范围的值h[k]=hd[k]，0kM设计方法可实现性处理方案方案二：可设计四种类型的线性相位FIR滤波器FIR窗函数法2d12d02d1][][][][khkhkhkhMkMkk+--+-+设计方法设计结果分析WWWd)e()e(π212jjdππ2HH--2d2][][khkhk--等于零，即h[k]=hd[k],0kM最小积分平方误差由Parseval定理结论：上述方法所设计的滤波器是在积分平方误差最小意义下的最佳滤波器。FIR窗函数法设计方法（采用方案二）1．根据要求确定线性相位FIR滤波器的类型2．确定理想滤波器的幅度函数Ad(W)和相位fd(W)fd(W)=-0.5MW+b3．计算IDTFT得hd[k])(π21][j)(jdπ2ddkAkh4．截短hd[k]h[k]=hd[k]，0kM最小积分平方误差设计FIR的步骤例：设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线性相位FIR滤波器。解：(1)确定线性相位FIR滤波器类型：可选用I型或II型(2)确定理想滤波器的幅度函数Ad(W)和相位fd(W)其他0π1)(2c1cd(W)=-0.5MW例：设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线性相位FIR滤波器。解：)(π21][j)(jdππddkAkh-(3)计算IDTFT得hd[k])5.0(j)5.0(jc21c1c2cMkMk----+)))5.0(Saπ)5.0(Saπc11cc22cMkMk---(4)截断hd[k]][][][dkwkhkhN长度为N=M+1的矩形窗例：设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线性相位FIR滤波器。解：kh[k]00A(W)W0.30.7单位脉冲响应幅度函数Wc1=0.3，Wc2=0.7，M30例：设计一个幅度响应能逼近理想带通滤波器的线性相位FIR滤波器。讨论：当Wc1=0，滤波器为理想低通))5.0(Saπ][c22cdMkkh-WW当Wc2=，滤波器为理想高通(M必须为偶数)))5.0(Saπ]5.0[][c11cdMkMkkh---WW1.理想低通和高通滤波器是带通滤波器的特殊情况)))5.0(Saπ)5.0(Saπ][c11cc22cdMkMkkh---=14M=30矩形窗设计的FIR低通滤波器在不同阶数时的幅度函数(Wc=/2)所设计滤波器的幅度函数在通带和阻带都呈现出振荡现象，且最大波纹大约为幅度的9%，这个现象称为Gibbs现象。FIR窗函数法吉伯斯现象产生吉伯斯现象原因分析由于所设计滤波器的单位脉冲响应][][][dkwkhkhNN=M+1利用DFTF的性质可得所设计FIR滤波器的幅度函数A(W)逼近Ad(W)的好坏，取决于窗函数的W(W)WWd)()(π21)(dππ--WAAFIR窗函数法吉伯斯现象矩形窗函数的频谱)2/sin()2/sin(e)e(2/)1(jj2NN04NW3N)(WW矩形窗的幅度函数W(W)1.W(W)的主瓣宽度4/N2.旁瓣相对衰减为常数FIR窗函数法吉伯斯现象矩形窗设计FIR滤波器的幅度函数N/π20c-WWA(W)主要由主瓣的面积确定A(W)的波动由旁瓣引起)(W-Wπ-cW-cWπ)(dA)(WAWπcW-π-1FIR窗函数法吉伯斯现象NN/π2/π2cc+-(W)逐渐减小，形成了滤波器的过渡带)(W-W)(dAπ-cW-cWπ矩形窗设计FIR滤波器的幅度函数)(WAWπcW-π-1FIR窗函数法)(W-W)(dAπ-cW-cWπ矩形窗设计FIR滤波器的幅度函数吉伯斯现象cWW)(WAWπcW-π-10.5A(Wc)=0.5FIR窗函数法吉伯斯现象Nc/π2+WWA(W)完全由旁瓣的面积确定)(W-W)(dAπ-cW-cWπ)(WAWπcW-π-10.5矩形窗设计FIR滤波器的幅度函数FIR窗函数法吉伯斯现象矩形窗截断产生的波峰大约是9%，故用矩形窗设计出的滤波器阻带最大衰减-20lg(9%)21dB)(WAWπcWcW-π-10.5Nπ4矩形窗设计FIR滤波器的幅度函数FIR窗函数法吉伯斯现象结论1.窗函数的主瓣宽度决定了H(ejW)过渡带的宽度,窗函数长度N增大，过渡带减小。2.旁瓣的大小决定了FIR滤波器在阻带的衰减用矩形窗设计出的滤波器阻带最大衰减为20lg(9%)-21dB如何提高阻带衰减?选用旁瓣幅度较小的窗函数FIR窗函数法常用窗函数矩形窗其他001][MkkwAp=-20lg(1-p)0.82dB,As=-20lg(s)21dB10.50.091.09WWcNπ8.1p=s=0.09FIR窗函数法常用窗函数Hann(汉纳)窗(w=hanning(M+1))-其他00)/π2cos(5.05.0][MkMkkw01020301w[k]kAp0.056dB,As44dBWWcNπ2.60.006411.00641-0.0064p=s=0.0064FIR窗函数法由Hann窗与矩形窗的比较(Wc=/2,M=38)00.250.50.751-80-60-44-200SquareHannGaindBFIR窗函数法常用窗函数Hamming(哈明)窗(w=hamming(M+1))-其它00)/π2cos(46.054.0][MkMkkw01020301w[k]kAp0.019dB,As53dBWWcNπ0.71.00220.002211-0.0022p=s=0.0022FIR窗函数法Hamming窗与Hann窗的比较(Wc=/2,M=38)00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-70-52-44-200HannHammingFIR窗函数法常用窗函数Blackman窗(w=blackman(M+1))+-其它00)/π4cos(08.0)/π2cos(5.042.0][MkMkMkkw01020301w[k]kAp0.0017dB，As74dBWWcNπ4.111.00020.00021-0.0002p=s=0.0002FIR窗函数法Blackman窗与Hamming窗的比较(Wc=/2,M=38)00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-100-75-52-200HammingBlackmanFIR窗函数法Kaiser(凯泽)窗(w=kaiser(M+1,beta))MkIMkIkw--0,)()]/21[1(][020bbb是一可调参数，调节窗函数的形状。I0x):themodifiedzeroth-orderBesselfunction.I0x)可用幂级数表示为210!)2/(1)(+nxxInn一般求20项就能达到所需精度。定义FIR窗函数法Kaiser(凯泽)窗——b取不同值时窗的形状0246810121416182000.51b=00246810121416182000.51b=10246810121416182000.51b=3FIR窗函数法Kaiser(凯泽)窗A=-20lg(min{p，s})21,285.295.7sp--AAMWW-+--21,05021),21(07886.0)21(5842.050),7.8(1102.04.0AAAAAAbM与b的确定例：用Kaiser窗设计满足下列指标的I型线性相位FIR低通滤波器。Wp=0.2,Ws=0.4，Ap=0.3dB,As=50dB解：1.估计bb0.1102As-8.7)2.估计滤波器的阶数M285.295.7spWW--sAM3.设定理想低通的截频2/)(spc4.h[k]=hd[k]·w[k]wp=0.3*pi;ws=0.4*pi;As=50;M=ceil((As-7.95)/(ws-wp)/2.285)M=M+mod(M,2)beta=0.1102*(As-8.7);w=kaiser(M+1,beta);wc=(wp+ws)/2;alpha=M/2;k=0:M;hd=(wc/pi)*sinc((wc/pi)*(k-alpha));h=hd.*w';omega=linspace(0,pi,512);mag=freqz(h,[1],omega);magdB=20*log10(abs(mag));plot(omega/pi,magdB);axis([0,1,-70,0]);grid;例：用Kaiser窗设计满足下列指标的I型线性相位FIR低通滤波器。Wp=0.2,Ws=0.4，Ap=0.3dB,As=50dB例：用Kaiser窗设计满足下列指标的I型线性相位FIR低通滤波器。Wp=0.2,Ws=0.4，Ap=0.3dB,As=50dB解：设计结果GainresponseoflowpassFIRfilter00.10.20.30.40.5-80-50-300NormalizedfrequencyGain,dBM=60Ap=0.0105dBAs=50.7524dB0.40.20.220.240.260.280.3-0.4-0.200.20.40.450.50.550.6-80-70-60-50-40-30W/dBW/dB0.20.220.240.260.280.3-0.4-0.200.20.40.40.450.50.550.6-80-70-60-50-40-30W/W/dBdB0.20.220.240.260.280.3-0.4-0.200.20.40.40.450.50.550.6-80-70-60-50-40-30dBdBW/W/理想低通滤波器截频的取值对设计结果的影响Wc=Wp+0.4(Ws-Wp)Wc=Wp+0.5(Ws-Wp)Wc=Wp+0.6(Ws-Wp)例：理想数字微分器的频率响应为HDIF(ejW)