北京交通大学(数字信号处理研究生课程)ch8_3小波与多分辨分析.

近代数字信号处理(AdvancedDigitalSignalProcessing)电子信息工程学院信号与图像处理研究室信号时频分析问题的提出短时傅里叶变换小波展开与小波变换小波变换与多分辨分析小波变换与滤波器组基于小波的信号处理及应用小波与多分辨分析小波变换与多分辨分析信号空间(signalspace)尺度函数(scalingfunction)——j(t)小波函数(waveletfunction)——y(t)多分辨分析(MRA)尺度函数系数h0[n]与小波函数系数h1[n]的特性尺度函数j(t)与小波函数y(t)的设计方法小波与多分辨分析为了从数学概念和工程概念上更好地理解小波分析，将通过分辨率的概念来阐述小波理论。尺度函数(scalingfunction)——j(t)多分辨分析(MultiresolutionAnalysis,MRA)小波函数(waveletfunction)——y(t)信号空间(signalspace)小波变换与多分辨分析小波与多分辨分析由泛函理论，任意信号可以看作是某个特定集合中的一个元素，该特定集合包含相同属性的所有信号。该特定的信号集合，称为信号空间。L2(R)信号空间包含所有定义在实数域R上的信号，且每个信号都满足：ttxtd)(2R信号空间L2(R)称之为平方可积空间。小波变换与多分辨分析信号空间(signalspace)小波与多分辨分析由尺度函数j(t)经过平移k而得到的函数定义为)()(kttkjjZk2Lj定义所有可由信号jk(t)线性表达的信号空间V0为)}({Span0tVkkjV0称为由信号jk(t)张成的闭信号空间，且20LV小波变换与多分辨分析尺度函数(scalingfunction)——j(t)小波与多分辨分析则表明存在着kkktatx)()(j同时也意味着)}({Span)(0tVtxkkj若信号x(t)可以由信号jk(t)线性表达，小波变换与多分辨分析尺度函数(scalingfunction)——j(t)小波与多分辨分析则同理可以得到由信号jj,k(t)张成的信号空间Vj若由尺度函数j(t)经过展缩和平移而得到的不同尺度j下的尺度函数jj,k(t)定义为)2(2)(2,kttjjkjjjZkj,)}2({Span)}({Span,ttVjkkkjkjjjZkj,小波变换与多分辨分析尺度函数(scalingfunction)——j(t)小波与多分辨分析由尺度函数展缩可得不同尺度下的尺度信号尺度越大，对应的信号的分辨率越高。小波变换与多分辨分析1102t)(tj尺度j=1尺度j=0尺度j=1)(2tj)(t/2j尺度函数(scalingfunction)——j(t)小波与多分辨分析由于信号jj,k(t)比jj1,k(t)在时域上更窄，因此jj,k(t)可以表达更多的信号，即信号jj,k(t)张成的信号空间Vj比信号jj1,k(t)张成的信号空间Vj1大。jjVV1ZjVVVVVVV21012同理可得：}0{V2LV小波变换与多分辨分析尺度函数(scalingfunction)——j(t)小波与多分辨分析由高分辨率尺度信号张成的信号空间包含由低分辨率尺度信号张成的信号空间，即存在：0123VVVV2L小波变换与多分辨分析尺度函数(scalingfunction)——j(t)小波与多分辨分析通过尺度函数j(t)的尺度展缩，就可以改变尺度函数的分辨率，从而建立了尺度函数、分辨率及信号空间之间的关系。若信号x(t)可以由尺度函数jj,k(t)表达，则信号x(2t)可以由尺度函数jj+1,k(t)表达，即jVtx)(1)2(jVtx小波变换与多分辨分析尺度函数(scalingfunction)——j(t)小波与多分辨分析根据信号空间的包含关系，若存在则必然jVtx)(1)(jVtx这表明若信号x(t)可由尺度函数jj,k(t)线性表达，则必然可以由尺度函数jj+1,k(t)线性表达。低分辨率信号可以由高分辨率信号线性表达。小波变换与多分辨分析尺度函数(scalingfunction)——j(t)小波与多分辨分析0)(Vtj1)(Vtj)2(2][)(0ntnhtnjjh0[n]是尺度函数系数(scalingfunctioncoefficient)，也称为尺度滤波器(scalingfilter)单位脉冲响应。该式称为尺度函数j(t)的多分辨分析(MRA)方程，该递归方程是尺度函数理论的基础。小波变换与多分辨分析尺度函数(scalingfunction)——j(t)小波与多分辨分析1101/2t)(Htj1102t)(Ttj)12()2()(HHHtttjjj)22(21)12()2(21)(TTTTttttjjjj}221,21,221{][0nh}21,21{][0nhHaar尺度函数三角尺度函数小波变换与多分辨分析尺度函数(scalingfunction)——j(t)小波与多分辨分析)2(2)(2/,kttjjkjyyZkj,根据信号空间的概念，由尺度函数j(t)同样可以定义小波函数y(t)，再由小波函数y(t)经过尺度展缩与平移得到小波信号yj,k(t)，即)(tj)(ty)(tj,ky小波变换与多分辨分析小波函数(waveletfunction)——y(t)小波与多分辨分析小波信号yj,k(t)设计为尺度信号jj,k(t)的正交信号，即存在0d)()()(),(,,,,tttttljkjljkjyjyjZlkj,,)}({Span,tkjkjjV)}({Span,tkjkjyW}{0VWjj1jjjVVWWjVjjjjWVV1正交和小波变换与多分辨分析小波函数(waveletfunction)—y(t)小波与多分辨分析信号x(t)将信号x(t)展开为尺度信号jj,k(t)和小波信号yj,k(t)，可以更有效地表达信号x(t)中的不同分量，有利于信号的分析与处理。尺度信号jj,k(t)小波信号yj,k(t)粗略信息(coarseinformation)精细信息(fineinformation)小波变换与多分辨分析小波函数(waveletfunction)——y(t)小波与多分辨分析001WVV100112WWVWVV321002…0123VVVV0V0W1W2W3200小波变换与多分辨分析小波函数(waveletfunction)——y(t)小波与多分辨分析初始尺度j=36543321012332321200000jjjjj210122=3初始尺度j=j0初始尺度j信号x(t)也可完全由小波信号表达信号x(t)可由小波信号和尺度信号共同表达小波变换与多分辨分析小波函数(waveletfunction)——y(t)小波与多分辨分析由于小波函数y(t)隶属于由尺度信号j(2tk)张成的信号空间V1，表明y(t)可以由j(2tk)线性表达，这就是小波函数y(t)的MRA方程：10VW0)(Wty1)(Vty)2(2][)(1ntnhtnjyZnh1[n]称为小波函数系数(waveletfunctioncoefficient)。小波变换与多分辨分析小波函数(waveletfunction)——y(t)小波与多分辨分析若尺度函数j(t)与小波函数y(t)满足正交性，即0)()(dtkttyj]1[)1(][01nhnhn]1[)1(][01nNhnhn当h0[n]为有限长序列，且长度N为偶数时，则有则小波函数系数h1[n]与尺度函数系数h0[n]满足小波变换与多分辨分析小波函数(waveletfunction)——y(t)小波与多分辨分析尺度函数j(t)与小波函数y(t)的对应关系1101/2t)(Hty11101/2t)(Htj}1,0;21,21{][0nnh}1,0;21,21{][1nnh)12()2()(HHHtttjjy)12()2()(HHHtttjjj]1[)1(][01nNhnhn小波变换与多分辨分析小波函数(waveletfunction)—y(t)小波与多分辨分析2)(Ltx321200000jjjjj)()()(,,,,000tdtctxkjkjjkjkkjkjyjkkjkjtc)(,,00j对应信号x(t)中的粗略(coarse)信息)(,,0tdkjkjjkjy对应信号x(t)中的精细(fine)信息由低分辨率的尺度信号jj0,k(t)表达由高分辨率的小波信号yj,k(t)(jj0)表达小波变换与多分辨分析多分辨分析(MRA)小波与多分辨分析)()(,,tdtxkjkjkjy210122[k]反映了信号x(t)中的低频分量的分布情况，而一系列展开系数dj[k]反映了信号x(t)中的高频分量的分布情况，这些展开系数就是信号的离散小波变换DWT。这表明信号x(t)也可以完全由小波信号表达。小波变换与多分辨分析多分辨分析(MRA)小波与多分辨分析100200300400-101100200300400-101100200300400-101100200300400-101100200300400-101100200300400-101Doppler信号kktkc)(][,00j)(][,00tkdkky)(][,11tkdkky)(][,22tkdkky)(][,33tkdkky小波变换与多分辨分析多分辨分析(MRA)小波与多分辨分析当尺度函数和小波函数构成正交归一化基时，信号的小波展开系数cj[k]和dj[k]由内积计算tttxttxckckjkjkjjd)()()(),(][,,,jjtttxttxdkdkjkjkjjd)()()(),(][,,,yyttkdttkcttxkjjjkjd|)(][|d|)(][|d|)(|22200yj1d|)(|2ttj1d|)(|2ttykjjjkjkdkcttx00222|][||][|d|)(|信号的DWT满足Parseval能量守恒小波变换与多分辨分析多分辨分析(MRA)小波与多分辨分析尺度函数系数h0[n]与小波函数系数h1[n]的特性nnh2][02.若j(t)与y(t)满足正交性，则存在0d)(tty1d)(ttj)2(2][)(0ntnhtnjj1.若，并且nnh0][1小波变换与多分辨分析小波与多分辨分析4.若实现y(t)的正交性，则][d)()(ktkttyynknkhnh][]2[][115.若实现j(t)与y(t)的正交性，则0d)()(tltktyjnknhnh0]2[][103.若实现j(t)的正交性，则][d)()(ktkttjjnkknhnh][]2[][00尺度函数系数h0[n]与小波函数系数h1[n]的特性小波变换与多分辨分析例：试分别设计长度N=2,4的尺度函数系数h0[n]和小波函数系数h1[n]，且尺度函数j(t)和小波函数y(t)满足正交性。当N=2时，根据尺度函数j(t)的特性解：nnh2][02]1[]0[00hh根据尺度函数j(t)的正交性约束条件nkknhnh][]2[][001]1[]0[2020hh}1,0;21,21{][0nnh}1,0;21,21{][1nnh例：试