同济大学高等数学(下)期中考试试卷

同济大学高等数学（下）期中考试试卷1一.填空题（每小题6分）1.有关多元函数的各性质：（A）连续；（B）可微分；（C）可偏导；（D）各偏导数连续，它们的关系是怎样的？若用记号“XY”表示由X可推得Y，则（）（）)()(.2.函数),(yxf22yxyx在点)1,1(处的梯度为，该点处各方向导数中的最大值是.3.设函数),(yxF可微，则柱面0),(yxF在点),,(zyx处的法向为，平面曲线00),(zyxF在点),(yx处的切向量为.4.设函数),(yxf连续，则二次积分1sin2),(xdyyxfdx.(A)ydxyxfdyarcsin10),(；(B)ydxyxfdyarcsin10),(；(C)ydxyxfdyarcsin10),(；(D)ydxyxfdyarcsin10),(.二.（6分）试就方程0),,(zyxF可确定有连续偏导的函数),(xzyy，正确叙述隐函数存在定理.三.计算题（每小题8分）1.设),(yxzz是由方程0),(zyzxf所确定的隐函数，其中),(vuf具有连续的偏导数且0vfuf，求yzxz的值.2.设二元函数),(vuf有连续的偏导数，且1)0,1()0,1(vuff.又函数),(yxuu与),(yxvv由方程组bvauybvaux（022ba）确定，求复合函数)],(),,([yxvyxufz的偏导数),(),(aayxxz，),(),(aayxyz.3.已知曲面221yxz上的点P处的切平面平行于平面122zyx，求点P处的切平面方程.4计算二重积分：Ddyxsin，其中D是以直线xy，2y和曲线3xy为边界的曲边三角形区域.5.求曲线积分Ldyyxdxyx)()(2222，L为曲线|1|1xy沿x从0增大到2的方向.五.（10分）球面被一平面分割为两部分，面积小的那部分称为“球冠”；同时，垂直于平面的直径被该平面分割为两段，短的一段之长度称为球冠的高.证明：球半径为R高为h的球冠的面积与整个球面面积之比为Rh2:.六.（10分）设线材L的形状为锥面曲线，其方程为：ttxcos，ttysin，tz（20t），其线密度zzyx),,(，试求L的质量.七.（10分）求密度为的均匀柱体122yx，10z，对位于点)2,0,0(M的单位质点的引力.同济大学高等数学（下）期中考试试卷2一.简答题（每小题8分）1.求曲线tztyttx3cos12sin3cos在点1,3,2处的切线方程.2.方程1lnxzeyzxy在点)1,1,0(的某邻域内可否确定导数连续的隐函数),(yxzz或),(xzyy或),(zyxx？为什么？3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路：设椭球面1222222czbyax与平面0DCzByAx没有交点，求椭球面与平面之间的最小距离.4.设函数),(yxfz具有二阶连续的偏导数，3xy是f的一条等高线，若1)1,1(yf，求)1,1(xf.二.（8分）设函数f具有二阶连续的偏导数，),(yxxyfu求yxu2.三.（8分）设变量zyx,,满足方程),(yxfz及0),,(zyxg，其中f与g均具有连续的偏导数，求dxdy.四.（8分）求曲线01,02yxxyz在点)110(，，处的切线与法平面的方程.五.（8分）计算积分）Dydxdye2，其中D是顶点分别为)0,0(.)1,1(.)1,0(的三角形区域.六.（8分）求函数22yxz在圆9)2()2(22yx上的最大值和最小值.七.（14分）设一座山的方程为2221000yxz，),(yxM是山脚0z即等量线1000222yx上的点.（1）问：z在点),(yxM处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率；（2）攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点M使得上述增长率最大，请写出该点的坐标.八.（14分）设曲面是双曲线2422yz（0z的一支）绕z轴旋转而成，曲面上一点M处的切平面与平面0zyx平行.（1）写出曲面的方程并求出点M的坐标；（2）若是.和柱面122yx围成的立体，求的体积.