同济第五版配套矩阵教案

1课题第二章矩阵及其运算§2.1矩阵§2.2矩阵的运算教学内容矩阵的概念；矩阵的运算；教学目标明确矩阵概念的形成；掌握矩阵的加法、数与矩阵的乘法、矩阵与矩阵的乘法；会求矩阵的转置、方阵的行列式、共轭矩阵；教学重点掌握矩阵定义及运算法则教学难点矩阵乘法教学手段、措施讲授课（结合多媒体教学）§2.1矩阵矩阵是线性代数的主要内容之一，是处理许多实际问题的重要数学工具。也是现代科技及经济理论中不可缺少的重要工具。一授课内容：矩阵的概念（给出矩阵、行矩阵、列矩阵、行向量、列向量、方阵、三角阵、对角阵、单位阵的概念）矩阵运算（相等、加法、数乘、乘法、转置）及运算法则。二授课过程与说明1．矩阵的概念引入：某工厂要购进4种原料F1,F2,F3,F4若知道A1,A2,A3生产这4种原料，到哪买这4种原料呢，对价格进行比较F1F2F3F4A14536A256453行4列表A34754在实际问题中经常遇到由mn个元素构成的数表定义1：mn个数(1,2,,;1,2,,)ijaimjn排成m行n列矩形数表=111212122212nnnnnnaaaaaaaaa称为一个mn矩阵。（对教学内容及欲达目的、讲授方法加以说明）组织教学矩阵与行列式的区别？矩阵是数表，行列式是数值或代数和；矩阵的行与列不等，但行列式的2一般用大写黑体字母表示：记为A、B、C。为了表示行和列，也可简记为nmA或ijmna矩阵中数(1,2,;1,2,)ijaij称为矩阵的第i行第j列元素。注意：m=n时是方阵，此时矩阵称为n阶方阵或n阶矩阵。n=1称为列矩阵或列向量12nbbBb。m=1称为行矩阵或行向量12,,nAaaa。定义2：如果两个矩阵有相同的行数，相同的列数，并且对应位置上的元素均相等。则称两个矩阵相等。记为A=B。把有相同行数，相同列数的两个矩阵称为同型矩阵。例1某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa其中ija为工厂向第i店发送第j种产品的数量。这四种产品的单价及单价重量也可列成矩阵1112212231324142bbbbBbbbb其中1ib为第i中产品的单价，2ib为第j种产品单价重量。例2四个航线中的单向航线①④②③1,0ijijai从市到市有一条单向航线，从市到j市没有单向航线行与列相等。3则图可用矩阵表示为01111000()01001010ijAa§2.2矩阵的运算一、矩阵的加法：定义1：A+B=（ija）nm+（ijb）nm=（ija+ijb）nm=111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababababab两个同行（m行）、同列（n列）的矩阵相加等于对应位置上的元素相加（行与列不变）由于矩阵加法归结为对应位置元素相加，故矩阵加法满足如下运算律1、交换律A+B=B+A2、结合律（A+B）+C=A+(B+C)3、有零元A+0=A4、有负元A+(-A)=0()ABAB二、数与矩阵的乘法定义2、给定矩阵A=（ija）nm及数k,则称（kija）nm为数k与矩阵A的乘积。即kA=kija=111212122212nnmmmnkakakakakakakakaka由定义可知–A=(-1)AA–B=A+(-B)数乘矩阵满足以下的运算律1、结合律：(kl)A=k(lA)=l(kA)2、交换律：kA=Ak3、分配律：k（A+B）=kA+kB例1、设可行的条件：是同型矩阵，方法是对应位置上的元素相加。其和与原矩阵同型用数乘以矩阵中的每一个元素数乘矩阵与数乘行列式的区别所在！！4A=864297510213B=612379154257求满足关系式A+2X=B的矩阵X（3A—2B）三、矩阵的乘法定义3：设A=（ija）smB=（ijb）ns则乘积AB=C=(ijc)nmijc=sjisjijibababa2211=skkjikba1(i=1,2````m;j=1,2```n)一般称AB为A左乘B矩阵乘法可行的条件是A的列数与矩阵B的行数相同。方法：A中的第行与B中的第列对应元素乘积之和例2设A=（ija）s3，B=（ijb）l4，(ijc)6m且AB=C，确定s,m,l的值例3，设A=422211B=111011231求AB是否可以求BA例4设A=7543B=3542求AB，BAA=1111B=2222求AB通过以上例题得出以下结论（这是与通常意义下的乘法所不同的）AB=0A,B不一定为01，AB不等于BA即矩阵乘法不满足交换律（若成立则说可交换2，AB=AC,B不等于C例如设A=3021B=4001C=0011AC=BC但方阵乘法矩阵的乘法满足以下运算律1，(AB)C=A(BC)2，(A+B)C=AC+BC,A(B+C)=AB+AC3，k(AB)=(kA)B=A(kB)（k为常数）定义说明，如果矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则A与B的乘积C中的第i行第j列的元素，等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素乘积的和。并且矩阵C的行数等于矩阵A的行数，矩阵C的列数等于矩阵B的列数矩阵的乘法总让我们联想是否满足数的乘法的运算律。5例5A=333231232221131211aaaaaaaaaE=100010001求EA解EA=A此时AE是否可行？只有当E为3阶方阵时，只有单位阵可与任何矩阵可交换矩阵的幂：121111,,,,,(),kkklklklklAAAAAAAAAAAAA介绍以下特殊阵(共同特点都是方阵)1，对角阵n阶方阵12n主元之外都是0称为对角阵，一般它与任意n阶方阵相乘不能交换，但两个对角阵相乘是能交换的，数与对角阵相乘，对角阵相加、乘还是对角阵。再进一步特殊化就是i2、数量矩阵对于任意常数，n阶方阵=叫数量矩阵。它与任意n阶方阵相乘可交换，以数量矩阵乘以一个矩阵B相当于数乘以矩阵B3,单位阵当=1时数量阵就是单位阵，即111记为E显然E在矩阵乘法中的作用与数1在数的乘法中的是相同的即AE=EA。一般称n阶的方阵E为单位矩阵。即主元是1，非主元是零例6：利用矩阵乘法，将线性方程组表为矩阵形式。n个未知量m个方程的方程组怎样定义矩阵的幂？()?kAB什么时候有：()?kkkABAB对角阵、数量阵、单位阵的行列式是多少？（上三角阵，下三角阵，自己定义）6系数矩阵、未知量列矩阵、常量列矩阵n个未知量m个方程的方程组的矩阵形；齐次方程组的矩阵形AX=BAX=0方程组可表示为AX=B.此式为方程组矩阵型。齐次方程组可表为AX=0四，转置矩阵定义4：将mn矩阵A的行与列互换所得的nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT转置矩阵有如下性质：1(AT)T=A2,(A+B)T=TTBA3.TTkA)kA(4.TTTAB)AB(五．方阵的幂与方阵的行列式对于幂了解，重点掌握行列式定义5：由n阶方阵的元素按原相对位置构成的行列式就是detA或A。定理2—1设A,B是同阶方阵则AB=BA此定理可推广到有限小结：理解矩阵的有关概念，掌握矩阵的乘法及矩阵与行列式的区别。记忆定理2-1，转置的性质