北京交通大学2003年研究生入学考试信号与系统复试试题及答案

北京交通大学2003年硕士研究生入学考试试题一、判断题（共10分，每小题2分）1.离散信号经过单位延迟器后，其幅度频谱也相应延迟。（）2.用有限项傅立叶级数表示周期信号，吉波斯现象是不可避免的。（）3.理想模拟低通滤波器为非因果物理上不可实现的系统。（）4.LTI离散系统稳定的充要条件是)(zH的全部极点在单位圆内。（）5.对连续周期信号取样所得离散时间序列也是周期信号。（）二、填空题（共30分，每小题3分）1.________)2(132dttet。2.若离散时间系统的单位脉冲响应)4()()(kkkh，则系统在}3,2,1{)(1kkf激励下的零状态响应为_________。3.抽取器的输入输出关系为)2()(kfky，试判断该系统特性（线性、时不变）_________。4.若)]()()[cos()(ttttf，则其微分)('tf=_________。5.连续信号tttf4sin)(的频谱)(jF=_________。6.)100cos()]1()1([)(ttttf的频谱)(jF=_________。7.已知一离散时间LTI系统的单位阶跃响应)()21()(kkgk，计算该系统单位脉冲响应)(kh=_________。8.若)(),20cos(3)10cos(42)(ttttf)10(0为基频，则)(tf的平均功率P=_________。9.若)(tf最高角频率为m，则对)2()4()(tftfty取样，其频谱不混迭的最大间隔是_________。10.若离散系统的单位脉冲响应)(])5.0()1[()(11kkhkk，则描述该系统的差分方程为_________。三、简单计算题（共50分）1.（6分）已知某连续时间系统的单位冲激响应)(th与激励信号)(tf的波形如图A-1所示，试由时域求解该系统的零状态响应)(ty，画出)(ty的波形。1-1-110t)(tf2-t120)(th图A-12.（6分）若)(tf得波形如图A-2所示，试画出)15.0(tf的波形。)(tf2-1-0123(1)t图A-23.（8分）已知信号)(tf的频谱如图A-3所示，求该信号的时域表示式。1-)(jH-6-5-445602)(j图A-34.（6分）已知一连续时间系统的频响特性如图A-4所示，输入信号ttttf,4cos2cos35)(，试求该系统的稳态响应)(ty)(jH133图A-45.（6分）已知信号)1()()(tttf通过一LTI系统的零状态响应为)1()1()(ttty，试求图A-5所示信号)(tg通过该系统的响应)(tyg并画出其波形。011)(tgt图A-56.（6分）已知系统)()(2)('tftyty的完全响应为)()32()(2teetytt，求系统的零输入响应和零状态响应。7.（6分）已知N=5点滑动平均系统的输入输出关系为10][1][NnnkfNky，求系统的单位脉冲响应，并判断系统是否因果、稳定。8.（6分）已知连续时间系统的系统函数1321)(232sssssH，写出其状态方程和输出方程。四、综合计算题（共60分）1.（20分）描述一线性时不变因果连续时间系统的微分方程为)()('2)(6)('5)(tftftytyty已知1)0(',1)0(),()(yytetft由s域求解：(1)零输入响应)(tyx零状态响应)(tyf，完全响应)(ty；(2)系统函数)(sH，单位冲激响应)(th,并判断系统是否稳定；(3)画出系统的直接模拟框图2.（20分）描述一线性时不变因果离散时间系统的差分方程为0)()2()1(5)(6kkfkykyky已知3)2(,2)1(),()(yykkf，由z域求解：(1)零输入响应)(kyx零状态响应)(kyf，完全响应)(ky；(2)系统函数)(zH，单位冲激响应)(kh；(3)若)1(2)(kkf，重求（1）、（2）3（20分）在图A-6所示系统中，已知输入信号)(tf的频谱)(jF，试画出系统中A、B、C、D各点及输出)(ty的频谱图，求出)(ty与)(tf的关系。1)(1jH10001000)(2jH12020)(ty)(tfABCD)(jF2020)1000cos(t)1000cos(t001图A-6参考答案一、解：1.错误。由序列傅立叶变换的位移特性，离散信号经过单位延迟器后，其幅度频谱不变。2.正确。3.正确。4.正确。5.错误。对连续周期信号取样所得离散时间序列可能是周期序列，也可能是非周期序列。二、解1.利用冲激信号的取样特性，可得422132)2(eedttettt2.系统的零状态响应为)()(khkf，由于}1,1,1,1{)4()()(kkkh，故利用列表法可得}3,5,6,6,3,1{)()(1kkhkf3.根据已知有)2()}({)(kfkfTky，)2(]}[{)(111kfkfTky，)2()}({)(222kfkfTky由于)()()2()2()}()({212121kbykaykbfkafkbfkafT)()2()}({000kkykkfkkfT故系统为线性时变系统。4.对信号)]()()[cos()(ttttf微分，可得)]()()[cos()]()()[sin()('tttttttf利用冲激信号的筛选特性化简，可得)()()]()()[sin()('ttttttf5.),4(44sin)(tSatttf其频谱4,04,)()(8gjF6.由常用信号的傅立叶变换可得)(2)]1()1([SattFT利用傅立叶变换的调制定理，可得)100()100()}100cos()]1()1({[SaSatttFT7.由于)1()()(kkk，利用线性和时不变特性，可得)1()21()()21()1()()(1kkkgkgkhkk8.tjtjtjtjeeeetttf202010102323222)20cos(3)10cos(42)(利用Parseval功率守恒定理，可得信号)(tf的平均功率为16.5)23()23(222222222nnFP9.信号)(tf的最高角频率为m，根据傅立叶变换的展缩特性可得信号)4/(tf的最高角频率为4/m，信号)2/(tf的最高角频率为2/m。根据傅立叶变换的乘积特性，两信号时域相乘，其频谱为该两信号频谱的卷积，故)2/()4/(tftf的最高角频率为mmm4324max根据时域抽样定理可知，对信号)2/()4/(tftf取样时，其频谱不混迭的最大抽样间隔maxT为mT34maxmax10.对单位脉冲响应进行z变换可得系统函数为211115.05.115.235.01211)(zzzzzzH由系统函数的定义可得到差分方程的z域表示式为)()5.23()()5.05.11(121zFzzYzzf进行z反变换即得差分方程为)1(5.2)(3)2(5.0)1(5.1)(kfkfkykyky三、解1.系统的零状态响应)()()(thtfty，其波形如图A-7所示。t)(ty02-2123图A-72.将)15.0(tf改写为)]2(5.0[tf，先反转，再展宽，最后左移2，即得)15.0(tf，如图A-8所示。t12-2-1(1)0)(tf-301224t)5.0(tf)2(6)2(012468)15.0(tft图A-83.因为系统函数为222)]5()5([)(jeggjH因为)(2)(2Satg，由傅立叶变换的对称性可得：)(2)(2)(222ggtSa即)()(12gtSa由调制性质，有)5()5(5cos)(222ggttSa由时移性质，有222)]5()5([)2(5cos)2(2jeggttSa因此)2(5cos)2(2)(ttSath4.利用余弦信号作用在系统的零状态响应的特点，即))(cos()()}{cos(0000tjHtT在本题中，0)(，因此由上式可以求出信号)(tf作用在系统上的稳态响应为ttjHtjHjHtfT2cos254cos)4(2cos)2(3)0(5)}({，t5.因为tdftg)()(，所以，利用线性时不变系统的积分特性，可得)1()1(])1()1([)()(ttddytyttg其波形如图A-9所示。t11012)(tyg图A-96.对微分方程取拉斯变换得)()(2)0()(sFsYyssY整理得)(212)0()(sFssysY因此有2)0()(sysYx，)(21)(sFssYf取拉斯反变换，得零输入响应为)()0()(2teytytx由给定的系统全响应可知，激励信号应为：)()(tketft，因此，其拉斯变换为1)(sksF，因而有21)2)(1()(21)(skskssksFssYf取拉斯反变换，得零状态响应为)()()(2tkeketyttf因此。系统的全响应为)(])0([)(22tkeeyketyttt与给定的系统全响应)(]32[)(2teetytt比较，可得：2k，5)0(y因此，系统的零输入响应为)(5)()0()(22teteytyttx系统的零状态响应为)()(2)()()(22teetkeketyttttf7.根据系统的单位脉冲响应的定义，当系统的输入信号)(kf为单位脉冲序列)(k时，其输出)(ky就是系统的单位脉冲响应)(kh，即)]5()([51)]4()3()2()1()([51)(1)(10kkkkkkknkNkhNn由于)(kh满足0,0)(kkhnkkh1151][40所以系统是因果、稳定的。8.根据系统函数画出系统的模拟框图，并选择积分器的输出作为状态变量，如图A-10所示，围绕模拟框图输入端的加法器可得到状态方程为1s1s32)(tf)(ty--)(2tx)(1tx1s)(3tx图A-10)()(21txtx，)()(32txtx，)()(3)(2)()(3213tftxtxtxtx围绕模拟框图输出端的加法器可得到输出方程为)()()(31txtxty四、解：1.(1)对微分方程两边做单边拉斯变换得)()12()(6)0(5)(5)0(')0()(2sFssYyssYysysYs整理后得)(651265)0(5)0(')0()(22sFsssssyysysY零输入响应的s域表达式为3324656)(2ssssssYx取拉斯反变换可得0,34)(32teetyttx零状态响应的s域表达式为32/52312/1)1)(65(12)(6512)(22ssssssssFssssYf取拉斯反变换可得)()25321()(32teeetytttf完全响应为0,211721)()()(32