北京交通大学研究生课程(神经网络模糊控制及专家系统)第二章

神经网络、模糊控制及专家系统张严心2015研究生课程第二章模糊控制的数学基础第三章模糊控制的基础理论第四章模糊控制系统与模糊控制器第二部分模糊控制（12）第二部分模糊控制第二章模糊控制的数学基础（3学时）模糊数学：集合论模糊子集模糊集合的特征与运算关系和关系图函数与映射§2.1普通集合——现代数学的基础§2.2模糊集合——模糊数学的基础德Contor康拓提出2.1普通集合——现代数学的基础概念：具有同一本质属性的全体事物的总和，汇成一个确定的整体，叫集合。例：某校全体学生可以用大写字母表示，如：X,Y也可以用小写字母表示，如：x,y集合表示法：列举法规则叙述法},,{321yyyY}7,5,3,2{A定义法：用一条规则来决定某一事物是否属于该集合特征函数法：Zadeh表示法：文氏图法：}8,6,4,2{}100|{aaaA为偶数，，}|{是中国的省会xxB其他为校三好学生01)(xxA，其中ExEA,，E是“大学生某专业的全体学生”A是“该专业全体三好学生”，)(xA是校三好学生的特征函数。一个工段共七个人，2，3，5，6，7是男工，1，4是女工则76543211110110xxxxxxx男工，76543210001001xxxxxxx女工UABx绝对隶属于A集合的术语元素属于论域全集空集2.1普通集合——现代数学的基础集合中的各个事物a是集合A中的一个元素，则Aa所有元素的全体的集合所有集合均为某一集合的子集不包含任何元素A，B是论域E的两个子集，若所有Ax，有Bx，则B包含AA的一部分元素组成B若BA且AB，则BA元素个数是有限或无限的包含子集相等有限集与无限集AB2.1普通集合——现代数学的基础集合的运算设有两个集合：},,,{dcbaA，},,,{fedcB，E为论域并集：}|{},,,,,{BxAxxfedcbaBAS或交集：}|{},{BxAxxdcBAS且补集：},|{ExAxxAEAC差集：}|{\BxAxxBA且}|{\AxBxxAB且对称差；)()()()(BABAABBABAS幂集：给定集合A，则以A的全体子集为元素构成的集合称为A的幂集。记为)(A，它的个数是n2设}6,4,2{A，则}}6,4,2{},6,4{},6,2}{4,2{},6{},4{},2{,{)(A——8个EAAEABEABEABEBAEABEABEABEBA2.1普通集合——现代数学的基础集合运算的性质设ECBA,,（1）交换律：ABBA，ABBA（2）结合律：CBACBA)()(，CBACBA)()(（3）分配律：)()()(CABACBA，)()()(CABACBA（4）传递律：若BCAB,则AC（5）幂等律：AAAAAA,（6）同一律：AAAEA,（7）两极律：EEAA,（8）补余律：CCAAEAA,（互补律）EECC,（9）复原律（还原律）：AAAACC)(,)(（10）对偶律：,)(BABA即CCCBABA)(（德摩根律）,)(BABA即CCCBABA)(2.1普通集合——现代数学的基础集合的直积（笛卡儿积）)}()(|,{ByAxyxBA，yx,是一个“序偶”)}()(|,{AxByxyAB例：}3,2,1{},,{BbaA}3,,2,,1,,3,,2,,1,{bbbaaaBA},3,,2,,1,,3,,2,,1{bbbaaaAB},,,,,,,{bbabbaaaAA}3,3,2,3,1,3,3,2,2,2,1,2,3,1,2,1,1,1{BB问题：实数集}|{xxR，则?RR二维空间2.1普通集合——现代数学的基础集合的映射映射：设有两个非空集合A和B，若有一个法则f，使得对于集合A中的每个元素x，按照法则f在B中有一个确定的元素与之对应，则称此定义在A上的法则f为集合A在B中取值的映射，表示为几类映射：满射单射双射（一一映射）逆映射BAf:},)(,|)({)(ByyxfAxxfAf记BAf)(称A为映射f的定义域，为f的值域，BAf)()()(,,212121xfxfxxAxx时当既是单射又是满射双射，且由确定B到A的映射)(xfy1f2.1普通集合——现代数学的基础关系概念：表示集合中元素间的联系对于给定集合}|{AxxA和}|{ByyB，BA的一个子集R称为A到B的“二元关系”，简称“关系”。R中的元素),(yx，若Ryx),(，则称x与y相关，记为yRx，否则Ryx),(，记为yRx特性：♣自反性♣对称性♣传递性例子：三角形的相似关系是对称的思考题：设集合}0.2,4.2,3.2,2.2,1.2{A，}4)(|),{(取整yxyxR试证R在A上具有自反性和对称性。2.1普通集合——现代数学的基础关系——表示方法：关系矩阵和关系图♀关系矩阵♀关系图},,,{21maaaA和},,,{21nbbbB，R为从A到B的一个二元关系，则对应于关系R有一个关系矩阵nmijMrR，其中),,2,1;,,2,1(),(0),(1mjmiRbaRbarjijiij当当例：设},,,{4321aaaaA，},,{321bbbB，}),(),,(),,(),,(),,(),,{(243313312111babababababaR写出其关系矩阵MR010101000111MR1a2a3a4a1b2b3b2.2模糊集合——模糊数学的基础概念设论域},,,{21neeeE，将E的任一子集A用隶属度表示为)(,,,)(,,)(,2211nAnAAeeeeeeA对于清晰集合来讲，当1)(1eA时，Aei；当0)(1eA时，Aei。如果将)(iAe的取值范围不局限于0和1，而拓宽为取0和1之间的任何数，如：0.0,,3.0,,0.1,,8.0,,15.0,54321eeeeeA这表示1e少量属于A，2e基本上属于A，3e一定属于A，4e也少量属于A，5e不属于A。这些量化值是一个模糊量。例：“老年人”40岁60岁80岁2.2模糊集合——模糊数学的基础概念设论域E，E到闭区间]1,0[的任一映射AA：]1,0[E)(eeA它确定了E的一个模糊子集，简称模糊集（或F集），记为A。A称为模糊集A的隶属函数，)(eA叫元素e隶属于A的程度，简称隶属度。引入模糊集的定义可见，e对模糊子集A的隶属程度由)(eA在闭区间]1,0[的取值大小来反映。)(eA越接近于1，则表示e从属于A的程度越大；反之，)(eA越接近于0，则表示e从属于A的程度越小。清晰集合模糊集合]1,0[}1,0{特征函数隶属函数特例特例推广扩展2.2模糊集合——模糊数学的基础表示方式1.Zadeh表示法E离散有限域},,,{21neee:nneeAeeAeeAA)()()(2211EeAeA)(连续有限域:不表示求积，也表示e与隶属度)(eA一一对应关系。论域式中，iieeA)(并不代表“分式”，而是表示元素ie对于集合A的隶属度)(iAe和元素ie本身的对应关系。“+”不表示加，只表示元素ie间排序与整体间的关系。2.序偶表示法E中元素ie与其对应的隶属度值)(iAe组成序偶)(,iAiee来表示模糊子集A)(,,,)(,,)(,2211nAnAAeeeeeeA3.矢量表示法单纯将E中元素ie与其对应的隶属度值)(iAe按序写成矢量形式)(,),(),(21neAeAeAA2.2模糊集合——模糊数学的基础表示方式4.函数描述法0）（x1.0三角形分布x0x）（x0x正态分布例：以年龄作为论域，取]200,0[E，Zadeh给出了“年老O”和“年轻Y”的两个模糊集的隶属函数式，分别为：2005055015000)(12eeeeO2002552512501)(12eeeeY0.51.0103050100年龄e)(eO思考：用连续有限域的方法表示上述概念0.51.0103050100年龄e)(eY2.2模糊集合——模糊数学的基础术语运算全集空集包含相等若1)(eAA为论域E上的模糊全集，记作E，即EeeE,1)(,),()(BAeeeBA则BA或AB),()(eeBABAe，则BA,0)(eAAe，则A记作性质：自反性对称性传递性交：并：补：])()(min[)()(eeeeBABABABA])()(max[)()(eeeeBABABABA)(1)(eeAACAC同理推广到连续有限域2.2模糊集合——模糊数学的基础运算例：设论域},,,{4321xxxxU,BA,是论域U上的两个模糊子集43214.07.05.03.0xxxxA,3218.015.0xxxB43216.03.05.07.0xxxxAC43214.08.015.0xxxxBA,432107.05.03.0xxxxBA代数算法代数积)()()(eeeBABABA代数和)()()()()(eeeeeBABABABA有界和1)()(11)()()()()(eeeeeeeBABABABABA有界差0)]()([)(eeeBABABA有界积0]1)()([)(eeeBABABA补集)(1)(1)(eeeAAAACC)1(1)]()([)(eeeBABA10EAACC2.2模糊集合——模糊数学的基础运算的性质幂等律：AAAAAA,两极律：EEAA,同一律：AAAEA,交换律：ABBA，ABBA结合律：CBACBA)()(，CBACBA)()(分配律：)()()(CABACBA，)()()(CABACBA吸收律：AABA)(，AABA)(复原律（还原律）：AAAACC)(,)(对偶律：,)(BABA即CCCBABA)(（德摩根律）,)(BABA即CCCBABA)(设ECBA,,计算题：32118.02.01.0xxxA,321208.02.0xxxA32136.04.00xxxA试求：321AAAS和321AAAT2.2模糊集合——模糊数学的基础截集与基本定理截集：设论域E中模糊子集A，即)(EFA，且]1,0[，定义},)(|{)(EeeeAAA称A为F集合A的截集或水平集，如下图1.00年龄e)(ee)(eAA当1时，称},)(|{)(EeeeAAA——的强截集},1)(|{)(1EeeeAAA——A的核},0)(|{)(0EeeeAAA——A的支集，suppA性质：)()()(BABA，)()()(BABA2.2模糊集合——模糊数学的基础截集与基本定理几个重要定理：1．分解定理：设论域U上的一个模糊子集A，