向量与空间解析几何知识点整理人王浩

1.二阶、三阶行列式和空间直角坐标系①二阶、三阶行列式................计算方法②空间直角坐标系................两点间的距离公式空间两点),,(),,,(22221111zyxMzyxM的距离21221221221zzyyxxMM2.向量代数（注意：手写体不可能是黑体，因此我们书写向量时一定要写成AB）①向量的概念a.向量，向量的模，向量的分量表达示、向量的坐标表达示b.单位向量、向量的方向余弦cos,cos,cos,,10zyxaaaaaaa222,,cos,cos,coszyxzyxaaaaaa②向量的运算a.加减运算b.数乘运算c.向量的数量积（点积、内积）ba=cosba=zzyyxxbababa运算律：交换律abba分配律cbcacba结合律babad.向量的向量积（叉积、外积）sinbac，ba与为之间夹角；c的指向满足右手法则；zyxzyxbbbaaakjibac运算律：反交换律abba分配律cbcacba结合律baba3.平面（注意：很多问题都是通过与n的关系解决的）①平面方程a.点法式：0)()()(000zzCyyBxxAb.一般式：0DCzByAxc.截距式：1czbyax②几个特殊位置的平面方程（针对“b一般式”进行分析）一般式：0DCzByAx（注意：平面过三个点即可求出这个平面方程，总的思路是用同一个字母表达这个平面，然后约去这个字母）0D过原点0A平行于x轴0B平行于y轴0C平行于z轴0,0AD过x轴0,0BD过y轴0,0CD过y轴0,0BA平行于xoy面或垂直于z轴0,0CB平行于yoz面或垂直于x轴0,0CA平行于zox面或垂直于y轴③点到平面、直线的距离4.空间直线①直线方程a.点向式（对称式）：pzznyymxx000b.一般式不成比例与其中22211122221111,,,(*))2(0)1(0CBACBADzCyBxADzCyBxAc.参数式：ptzzntyymtxx0005.夹角①向量（,0）222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababababa（注意：求向量夹角问题中，从已知条件中要学会利用2aaa）两个非零向量之间的特殊关系：(//abba为实数，且0)0babababazzyyxx（注意：的正负决定了两个向量的方向是否相同）00zzyyxxbababababa②线线（2,0）222222212121212121cospnmpnmppnnmm（注意：结合图形，多多考虑这个绝对值在此所起的作用）两直线之间的特殊关系：两直线互相垂直021212121ppnnmmss两直线互相平行③面面（2,0）222222212121212121cosCBACBACCBBAA（注意：结合图形，多多考虑这个绝对值在此所起的作用）两个面之间的特殊关系：平面1与2互相垂直0021212121CCBBAAnn即平面1与2互相平行21212121CCBBAAnn即平面1与2互相重合2121212121DDCCBBAAnn即（注意：两个面平行的基础上，随便取一个点进行代入验证）④线面（2,0）222222sinpnmCBACpBnAm（注意：结合图形，多多考虑这个绝对值在此所起的作用）直线L与平面垂直pCnBmAns平行与直线L与平面平行0CpBnAmns垂直与直线L在平面上6.二次曲面①二次曲面的标准方程球面2202020)()()(Rzzyyxx椭球面1222222czbyax单叶双曲面1222222czbyax双叶双曲面1222222czbyax椭圆抛物面双曲抛物面圆锥面②柱面方程（注意：实质是缺项问题）分析：在知道平面图形的基础上，分别针对缺少zyx,,项进行分析；圆柱面椭圆面双曲面抛物面③旋转曲面设曲线L：0,0),(zyxf；（1）曲线绕x轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：0),(22zyxf；（2）曲线绕y轴旋转一周所成的旋转曲面方程为：0),(22yzxf分析：通过以上两个进行推导可知——着眼是从点出发，“旋转高度不变，旋转半径不变！”