向量在中学数学中的应用

§3向量在中学数学中的应用教学目的：使学生理解并掌握向量在中学数学有关问题或解题中的工具性作用。教学重点：向量在中学数学中的应用。教学难点：向量在中学数学中的应用。课时安排：2如前所述，向量兼有数与形两大特征，向量的三种运算又能有效、简捷地描述图形中的数量关系和图形之间的位置关系，加之向量与坐标系具有天然的联系，所有这些得天独厚的特性使得向量成为解决中学数学有关问题的强有力工具。3.1向量与图形前两节已举了不少运用向量研究图形性质的例子。概括起来，运用向量方便、简洁地解决的图形问题大致有以下几类：（1）比例的有关问题；（2）平行与垂直的有关问题；（3）角度与距离的有关问题。由于平面向量与空间向量没有本质的区别，因此，不管是平面图形还是空间图形，运用向量解决、研究图形问题的思路是一致。一般情况下，有两种途径：一是选择适当的基向量，其它有向线段用基向量线性表示，然后通过向量的运算求解；二是建立适当的坐标系，运用向量或点的坐标运算求解。究竟用哪一种方法，可视具体问题而定。下面举例说明之。例1已知P、Q过△OAB的重心G，OP:OA=m，OQ:OB=n,求证：1m+1n=3。分析这是涉及到比例的问题，运用向量的加法、数乘运算即可。图7-23中有众多的线段，不妨以不共线的向量→OA、→OB为基向量，其它有向线段用基向量线性表示。设→OA=a，→OB=b，则→OD=12(a+b),→OG=13(a+b)，→OP=m→OA,→OQ=n→OB。→PG=→OG-→OP=(13-m)a+13b,→PQ=→OQ-→OP=nb–ma。∵P、Q、G共线，∴存在λ，使→PG=λ→PQ，即(13-m)a+13b=λ（nb–ma）。整理，得(13-m+λm)a+（13–λn）b=0，于是，13-m+λm=0，13–λn=0，消去λ，得1m+1n=3。例1也可以通过建立坐标系，运用向量的坐标运算来解决，读者不妨一试。例2已知△ABC中，AM:AB=1:3，AN:AC=1:4,，BN与CN交于点E，AB=m，AC=n,∠BAC=60°，求AE之长（图7-24）。解问题涉及到比例，长度与距离，因此必须运用向量的三种运算求解。选择→AB=a，→AC=b为基向量，则→NB=a－14b,→CM=13a－b。因N、E、B共线,C、E、M共线，故存在实数λ,μ，使→NE=λ→NB=λ(a-14b),→CE=μ→CM=μ(13a-b)。∵→NC+→CE+→EN=0，∴34b+μ(13a-b)-λ(a-14b)=0，(34－μ+14λ)b+(13μ－λ)a=0。∵a,b不共线，∴{34--μ+14λ=013μ-λ=0解得λ=311，μ=911。∴→AE=→AN+→NE=14b+311(a-14b)=311a+311b|→AE|=111(3a+2b)2=1119m2+4n2+6mn。例3在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1。证欲证明两个平面垂直，只须证明这两个平面的法向量相互垂直即可。由于ABCD-A1B1C1D1是个正方体，故可建立坐标系，应用向量坐标的运算来解决。以A为原点，分别以→AB、→AD、→AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图7-25），则D(0,1,0)、E(1,0,12)、F(12,1,0)、A1(0,0,1)、D1(0,0,1)，于是→AD=(0,1,0),→AE=(1,0,12),→A1D1=(0,1,0),→D1F=(12,1,0)。设平面ADE的法向量为n1=(x,y,z)，而→AD、→AE在平面ADE内，所以有n1⊥→AD,n1⊥→AE，求得y=0，x=-12z,所以平面ADE的一个法向量为n1=(－12,0,1)。同理，求得平面A1F1D1的一个法向量n2=(—1,0,—12)。∵n1.n2=0,∴n1⊥n2。平面ADE⊥平面AFD1。例4在正四面体ABCD中，E、M分别是AB，AC的中点，N为面BDC的中心（图7-26），求DE，MN之间的夹角。解令→DA=a,→DB=b,→DC=c，则→DE=12(a+b)，→NM=→ND+→DC+→CM=—13(b+c)+c+12(a—c)=-13b+16c+12∵|→DE|=32|→NM|=12，→DE.→NM=12(-13b+16c+12a).(a+b)=524，∴cos→DE,→NM=→DE→NM|→DE||→NM|=5318。从上述例子可以看出，运用向量求直线与直线，直线与平面或两个平面的夹角，基本途径相同，寻找能表示两个元素方向的向量a、b，然后利用公式cosa、b=a·b|a||b|。例5已知正四棱锥S—ABCD两相对侧面SAD和SBC相互垂直，求两相邻侧面SAB和SBC所成二面角的大小。（图7-27）解求平面夹角的问题可以转化为求平面的法向量的夹角问题。以底面ABCD中心O为坐标原点，建立如图所示的坐标系Oxyz，Ox//AD，Oy//AB。设底面边长为2a，高为h，则→DA=(2a,0,0),→AS=(-a,a,h)设平面SAD的一个法向量为n1=(x,y,z)，则由n1⊥→DA、n1⊥→SA，得平面SAD的一个法向量n1=(0,-h,a),又→CB=(2a,0,0),→BS=(-a,-a,h)，同理求得平面SBC的一个法向量n2=(0,-h,-a)。∵平面SAD⊥平面SBC,∴n1⊥n2得h2=a2，h=a。此时n1=(0,-1,-1)，n2=(0,-1,-1)。又∵→AB=(0,2a,0)，→AS=(-a,a,h)，,同理求得平面SAB的一个法向量n3=(1,0,1)，∴cosn2,n3=n2n3|n2||n3|=-122=—12。平面SAB，SBC所成二面角的度数为120°。从此例可以看出，用向量求二面角，可避免寻找二面角的平面角的麻烦。向量除了用来求角度，还可以用来求各种距离，前面已举过这方面的例子，不再赘述，最后举几例在高考或高考摸拟中出现的向量综合题。例6如图7-28，已知矩形ABCD中，AB=1，BC=a(a0)，PA⊥平面ABCD（1）问BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由；（2）若PA=1，且BC边上有且只有一点Q，使PQ⊥QD，求这时二面角Q—PD—A的大小解（1）以A为原点，AB，AD，AP分别为x、y、z轴建立坐标系，则B(1,0,0)、D(0,a,0)、P(0,0,c),、C(1,a,0)，设Q(1,x,0)，则→QD=(-1,a-x,0),→PQ=(1,x,-c)，若Q点存在,由→QD⊥→PQ，得-1+（a-x）x=0，即x2-ax+1=0此方程的判别式△=a2-4(a0)。所以，当a≥0时，方程有解，Q点存在，当0a2时，方程无解，Q点不存在。（2）由（1）知，当BC=a=2时，x=1,此时Q点为BC中点，→DQ=(1,-1,0),→PD=(0,2,-1)设平面PQD的法向量n1=(x,y,z),则由n⊥→DQ,n⊥→PD,得x=y,2y-z=0,n=(1,1,2)。又PAD的法向量为→AB=（1，0，0），∴二面角Q-PD-A的大小θ，满足cosθ=n→AB|n||→AB|=16=66，θ=arccos66。例7已知平行六面体ABCD=A’B’C’D’的底面ABCD是菱形,且∠C’CB=∠C’CD=∠BCD=60°。证明（1）C’C⊥BD；（2）当CDCC'的值是多少时，能使A’C⊥平面C’BD（2000年全国高考题）？证设→CB=a、→CD=b、→CC'=c，以这三个向量为基向量，则→BD=b-a(1)→BD·→CC'=(b-a)·c=b·c-a·c=(|b|-|a|)|c|cos60°∵ABCD是菱形，∴→BD·→CC'=0，即BD⊥C’C。（2）欲使A’C⊥平面C’BD，只须A’C⊥BD，且A’C⊥C’D∵→CA'=→CA+→AA'=a+b+c→BD=b-a∴→CA'·→BD=(a+b+c)·(b-a)=b2–a2+c(b-a)=0，即→CA'⊥→BD，又→CA'·→C'D=(a+b+c)·(b-c)=a·b+b2+c·b-a·c-c·b–c2而a·b=12|b|2,a·c=|b||c|cos60°∴→CA'·→C'D=32|b|2—12|b||c|—c2(3|b|+2|c|)(|b|-|c|)=0|b|=|c|CDCC'=1即当CDCC'=1时，能使A’C⊥平面C’BD。3．2向量与解析几何在直角坐标系里研究椭圆，双曲线，抛物线的性质是平面解析几何的主要内容，由于向量与坐标有着天然的联系，因此，坐标结合向量研究曲线的性质更为方便。例8椭圆x29+y24=1的焦点为F1、F2，点P为其上一动点，当∠F1PF2是钝角时，点P的横坐标的取值范围。解此题涉及到角度，不妨用向量的坐标求解。设动点P(x,y)，易知F1（-5，0）、F2（5，0），则→PF1=(-5-x,-y)，→PF2=(5-x,-y)，∵cos→PF1,→PF2=→PF1→PF2|→PF1||→PF2|，∴∠F1PF2为钝角的充要条件是cos→PF1,→PF20，即→PF1。→PF2=(-5–x)(5–x)+y20，整理，得x2-5+y20。又点在椭圆x29+y24=1上，∴求得-35x35。例9如图7-30，已知两点P(-2,2)、Q(0,2)，以及直线l：y=x，设有长为2的线段在直线l上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程。解由于A,B在直线y=x上，令A(t，t)，由|AB|=2知B(t+1,t+1)，设M(x,y)，∵M、B、Q三点共线，∴→MB//→BQ。又→MB=(t+1-x,t+1-y)，→BQ=(-t-1,1-t),从而(t+1-x)(-t-1)+(t+1-y)(1-t)=0，整理得(2-x-y)+t(x-y+2)=0。①又∵M、A、P三点共线，∴→MA//→AP。∵→MA=(t-x,t-y),→AP=(-2-t,2-t),∴(t-x)(-2-t)+(t-y)(2+t)=0，整理得-(2x+2y)+(x-y+4)t=0。②由①，②两式消去t，得x2+2x-y2-2y+8=0，即为所求轨迹方程。事实上，向量不仅在解决图形问题时有巨大威力，在解决不等式有关问题时也能另辟蹊径。3．3向量与不等式运用向量解不等式有关问题时，常根据问题特点，构造相关向量a=(a1,a2)，b=(b1,b2),，然后运用向量不等式(1)||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|；(2)a.b≤a.b≤|a|.|b|来达到求解的目的。例10f(x)=1+x2,若a≠b，证明|f(a)—f(b)||a—b|证f(a)=1+a2,f(b)=1+b2,∴令a1=(1,a)，b1=(1,b),则f(a)=|a1|，f(b)=|a2|，a1–a2=(0,a—b)于是：|f(a)—f(b)|=||a1|—|a2||≤|a1—a2|=|a—b|。在不等式||a1|—|a2||≤|a1—a2|中，等号成立当且仅当a1、a2共线，而a≠b，这说明a1、a2不同向，于是等号取不到，从而|f(a)—f(b)||a—b|。例11设0x1，a、b为非零常数，试求y=a2x+b21-x的最小值。解设m=(ax,b1-x)，n=(x,1-x)，则m·.n=a+b，|m|=a2x+b21-x，n|=1，由m·n≤|m|.|n|得a+b≤a2x+b21-x，即（a+b）2≤a2x+b21-x。等号当且仅当m、n共线，即ax：x=b1-x：1-x时成立，求得当x=aa+b时，ymin=(a+b)2例12设x、y、z是正实数，x+y+z=1，求w=1x+4y+9z的最小值。解设m=(1x,2y,3z)，n=(x,y,z)，则|m|=w,|n|=1，|m.n|=6。由|m·n|≤|m||n|，知6≤w,36≤w当且仅当m,n共线，即1x:x=2y:y=3z:z，即x=16,y=13,z=12时等号成立，故wmin=363．4向量与复数在复平面上，点，向量与复数建立了一一对