向量数量积性质的探究

1向量数量积性质的探究362300泉州现代中学数学组陈永生15980321668摘要：立体几何中的几何法的“难在找(或作)所求的角度”,通过空间向量这个数量积的性质的转化,其“难”渐渐地溶解于“转换与化归”之中及学生的细心地“计算”之中,就更体现了“向量”这个工具在立体几何中应用的优越性、工具性。因为”程序化”的计算使我们的学生的“信心”倍增!关键词：空间向量线线角线面角二面角的平面角向量既是代数的对象，又是几何的对象。作为代数对象，向量可以进行运算。作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、切线等几何对象；向量有长度，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。运用向量刻画几何对象和几何度量问题都是通过向量的代数运算来实现的。因此，向量提供了一种通过代数运算刻画几何对象及其位置关系以及几何度量问题的工具。向量集数形于一身，是沟通代数与几何的天然桥梁。向量的学习，有助于学生掌握处理几何问题的代数方法，体会数形结合的思想。这又需要我们在实践中不断“开发”新的认识，丰富知识网络，形成较完善的“认知模块”、“知识体系”。例如高中新课标：数学选修2-1中，关于空间向量的数量积有这样三条性质：（1）eaaea,cos||，（2）0baba，（3）aaa2||。性质（2）以向量来论证立体几何中的垂直问题，使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单。性质（3）如何求斜坐标系的两点间距离比较明显，会立即得到充分的应用。性质（1），上新授课时学生总认为：这条性质没有什么“本质上”用处，有点像“房间里的摆设”——配角。但是随着时间的推移，学生发现了她的奥妙之处：在后继的有关“三大角度”和“三大基本距离”的坐标法研究中有着奇妙无穷的用途，极大地丰富了空间向量的“数量积”这一运算的内涵。（一）性质的“知识链”对教材引进空间向量“坐标法”来解决空间中“三大角”问题，学生可以说是欣喜若狂，因为学生觉得这种方法好！可操作性强！（只要能建系，有坐标就行！）但在实际应用中，学生觉得这些结论不易理解，加上这些结论只能逐步形成和完善，靠死记硬背吧，今天记了明天又忘了！等到用时，仍是“生硬、呆板”，甚至张冠李戴。如何突破这一问题？我认为其根本原因是：在学生的认知结构里，这一性质未能如愿地形成“知识链”。那么，这一性质怎样与相关问题产生“对接或联系”呢？（1）它是空间三大角（线线角、线面角、二面角的平面角）用向量法求解的“对接点”。1．1线线角])2,0[(的求法新认识：我们把这两条线赋予恰当的两个向量，问题就化归为两个向量的夹角（两个向量所成角的范围为],0[），即|||||||||||||,cos|cosbababababa,我们能否加以重新认识这个公式呢？如图，AOOBOB1OabAOOBOB1OabAOOBO(B1)Oab2|||1||||1|cosbOBOBOB，此时OB1可以看作是b与a方向上的单位向量e的数量积)||(aaeeb其中，这就是由数量积这条性质滋生而成的；故此结论重新可以理解为：||||||cosbaab。1．2线面角])2,0[(的求法新认识：|,cos|sinnPA||||||nPAnPA（其中n为平面的一个法向量），此结论重新可以理解为：||||sin||||OPOPPAPA，此时OP又可以看作是PA在n上的投影，即PA与n方向上的单位向量e的数量积ePA，)||(nne其中，故||||||sinPAnnPA1．3二面角的平面角]),0[(的求法新认识：|,cos||cos|21nn=|2||1||21|nnnn（其中21nn与是两二面角所在平面的各一个法向量）此结论重新可以理解为：|2|||1|12||1|||2|21||cos|nnnnnnnn。★三大角的统一理解：||||||cosbaab、||||||sinPAnnPA、|2|||1|12||1|||2|21||cos|nnnnnnnn、从上述可看出：这里“空间角”的求法，完全与直角三角形中的三角函数的“正弦或余弦的定义”发生了对接——对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影，即斜边向量与对边或邻边方向上的单位向量的数量积，而理解与掌握这里的“空间角”的直角三角形的构图，学生完全可以达到“系统化”和“自主化”，因为直角三角形中的三角函数定义，他们太熟悉了！即将知识的“生长点”建立在学生认知水平的“最近发展区”，那学习就会水到渠成！（2）它又是空间三大距离（点线距、点面距、异面直线间距离）用向量法求解的“联系点”。空间中有七大距离（除球面上两点间的距离外）基本上可转化为点点距、点线距、点面距，而点线距和点面距又是重中之重！另外两异面直线间的距离，高考考纲中明确要求：对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离．．．．．．．．．。教材中引进了向量法来解决距离问题，也给问题的解决带来nAPOABCDEFn1n1n23新的活力！不用作出（或找出）所求的距离了。2．1点面距求法的新认识：||||||||sin||||||||nPAnPAdPOPAPAnPAn（其中n为平面的一个法向量），此结论重新可以理解为：||||nnPAd，即PA在n上的投影，即PA与n方向上的单位向量e的数量积)||(nneePA其中。2．2点线距求法的新认识：1）如图，若存在有一条与l相交的直线，就可以先求出由这两条相交直线确定的平面的一个法向量n，则点P到l的距离||||nnPAd。2）若不存在有一条与l相交的直线，我们可以先取l上的一个向量n，再利用2||2||2||OAPAPO来解，即：2||2||2OAPAd,而数量ＯＢ可以理解为PA在l上的向量n的投影，也即为：||||||nnPAOA。2．3异面直线间距离求法的新认识：从这几年的高考《考纲说明》观察，对异面直线间距离的考查本意不能太难，但若出现难一点的考题，命题者又能自圆其说。实际上，这种自圆其说法归根到底在于高考考纲中的说法：只要求会计算已给出公垂线或在坐标．．．．表示下的距离．．．．．．。也就是说，在不要作出公垂线的情况下，也可以求出它们的距离！那就是用向量法！如图所示：若直线l1与直线l2是两异面直线，求两异面直线的距离。解：在两直线上分别任取两点A、C、B、D，构造三个向量CDBDAC,,，记与两直线的公垂线共线的向量为n,则由00nBDnAC与,得n,则它们的距离就可以理解为：CD在n上的投影的绝对值，即：||||nnCDd。★三大距离的统一理解:||||nnPAd（点面距）、||||nnCDd（异面距）、||||nnPAd（点线距之一）、nAPOPlOAl1Al2BCD42||2||2OAPAd且||||||nnPAOA（点线距之二）、由上述剖析过程不难看出：空间中三大角与三大距离的计算，都隐藏于这个“特定”的数量积的性质之中，体现这个公式结构的“统一美”之中，把问题的本质揭示得“淋漓尽致”！这给“立体几何”中向量的工具性的体现，增色了几分美感与统一感！（二）性质的应用例1、在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，4PAAD，2AB.以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；（3）求点N到平面ACM的距离。解：（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC。又因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面ＰＡＤ，则CD⊥AM，所以AM⊥平面PCD，所以平面ABM⊥平面PCD。（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A，(0,0,4)P，(2,0,0)B，(2,4,0)C，(0,4,0)D，(0,2,2)M；设平面ACM的一个法向量(,,)nxyz，由,nACnAM可得：240220xyyz，令1z，则(2,1,1)n。设所求角为，则6sin3CDnCDn。（3）由条件可得，ANNC.在RtPAC中，2PAPNPC,所以83PN,则103NCPCPN,59NCPC，所以所求距离等于点P到平面CAM距离的59，设点P到平面CAM距离为h则263APnhn，所以所求距离为5106927h。例2、如图,在五面体ABCDEF中，FAABCD平面，////ADBCFE，,ABADM为EC的中点，12AFABBCFEAD。(Ⅰ)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(Ⅱ)证明平面AMD平面CDE；(Ⅲ)求二面角ACDE的余弦值。解．如图所示,建立空间直角坐标系,NODMCBPAQPMFEDCBAyxzDMCBPANO5设1AB，依题意得1,0,0,1,1,0,0,2,0BCD，110,1,1,0,0,1,,1,22EFM．(Ⅰ)1,0,1,011BFDE，，,于是0011cos,222BFDEBFDEBFDE.所以,异面直线BF与DE所成的角的大小为60．(Ⅱ)由11,1,,1,0,1,0,2,022AMCEAD可得0,0CEAMCEAD.因此,CEAMCEAD，又AMADA，故CEAMD平面．而CECDE平面，所以平面AMD平面CDE．(Ⅲ)设平面CDE的法向量为,,uxyz,则0,0.uCEuDE于是0,0.xzyz令1x,则1,1,1u．又由题设，平面ACD的一个法向量为0,0,1vAF，所以，0013cos,331uvuvuv．因为二面角ACDE为锐角，所以，它的余弦值为33．通过上述试题分析，用空间向量解决立体几何问题，一般可按以下过程进行思考：(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？立体几何中的几何法的“难在找（或作）所求的角度或距离”,通过这个数量积的性质的转化，其“难”渐渐地溶解于“转换与化归”之中及学生的细心地“计算”之中，从而也焕发了数量积这条性质的奥妙之处，也就更体现了“向量”这个工具在立体几何中应用的优越性、工具性。因为”程序化”的计算使我们的学生的“信心”倍增!同时让我们的学生也懂得了“知其所以然”，再也不用为记这一个“好结论”而烦恼了！参考资料：1、普通高中课程标准实验教科书（人民教育出版社）2、高中数学教学参考zyxMFEDCBA6