北京工业大学2013-2014概率论试题及答案(word版)

北京工业大学2013-2014学年第一学期期末数理统计与随机过程(研)课程试卷学号姓名成绩注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。数据结果保留3位小数。考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》浙江大学盛骤等编第三版（或第四版）高等教育出版社，不能携带和查阅任何其他书籍、纸张、资料等。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。一、（10分）设学生某次考试成绩服从正态分布),(2N，现从中随机抽取36位的考试成绩,算得平均分为66.5，标准差为15分。问在显著性水平0.05下，从样本看，(1)是否接受“70”的假设？(2)是否接受“2216”的假设？解：已知05.0,36,15,5.66nSX（1）70:,70:10HH由书中结论知，检验问题的拒绝域为)1(702ntnSX4.13615705.6670nSX，查表得0301.2)35()1(025.02tnt，所以，接受原假设。，（2）22122016:,16:HH检验问题的拒绝域为)1(16)1(222nSn7617.301615)136(16)1(2222Sn，802.49)136()1(205.02n，所以，接受原假设。二、（15分）在某公路上观察汽车通过情况，取15秒为一个时间单位，记下锅炉汽车的辆数。连续观察200个单位时间，得数据如下：过路的辆数012345频数9268281110问在一个时间单位内通过公路的汽车辆数X的分布能否看成是Poisson分布？(显著性水平取0.05)解：805.020014113282681920ˆxiAifˆipˆinp2ˆ/iifnp0A920.44789.494.6761A680.3607264.2222A280.1452927.0343A11120.0397.89.6154A10.0081.65A00.0010.2200.932并组后k=4,而此处r=1,故自由度为k-r-1=2,200.932-200=0.932991.5)2(205.0,所以是Poisson分布三、（15分）为考察某种维尼纶纤维的耐水性能，安排了一组试验，测得甲醇浓度x及相应的“缩醇化度”y数据如下：x18202224262830y26.8628.3528.7528.8729.753030.36(1)建立“缩醇化度”y对甲醇浓度x的一元线性回归方程；(2)对建立的回归方程进行显著性检验：（取01.0）；(3)在0x=36时，给出相应的y的预测区间（取01.0）。解答：xyxy1826.86324721.4596483.482028.35400803.72255672228.75484826.5625632.52428.87576833.4769692.882629.75676885.0625773.528307849008403030.36900921.7296910.8168202.9441445892.01364900.16112168714144)(12271712iiiixxxnxS6.2994.2021687116.4900))((1717171iiiiiiixyyxnyxS4931.894.202710136.5892)(12271712iiiiyyynyS2643.01126.29xxxySSb，6486.22xbya于是，一元线性回归方程为xy2643.06486.22（2）对回归方程进行检验：6598.06.292643.04831.8xyyyeSbSQ13196.022nQe，3633.0699.71123633.02643.0xxSbt0150.2)5()2(05.02tnt，)2(2ntt，所以拒绝原假设，回归方程很显著。（3）区间预测：))(11)2((2020xxSxxnntxba代入数值计算得，（31.066，33.3332）四、（15分）茶是世界上最为广泛的一种饮料，但很少人知其营养价值。任一种茶叶都含有叶酸，它是一种维他命B。如今已有测定茶叶中叶酸含量的方法。为研究各产地的绿茶的叶酸含量是否有显著差异，特选三个产地绿茶，其中每个产地的绿茶制作了5个样品，共15个样品。按随机次序测试其叶酸含量（单位：mg），测试结果如下：(1)三个产地的绿茶的叶酸含量有无显著性差异？（显著性水平05.0）(2)如果三个产地的绿茶的叶酸含量有显著性差异，求均值差21AA的置信水平为95%的置信区间。解:s=3,1n==2n=3n=5，n=15，111niijXT39.9,2112niijXT323113niijXT45.6，sjniijjXT11=117.5X7.8333nTXSsjniijTj2112=947.31-920.4167=26.8933nTnTSsjjjA212=939.092-920.4167=18.6753ATESSS=8.218列方差分析表如下：来源平方和自由度均方F值因素A18.675329.3377F=13.6356误差8.218120.6848F0.05（2，12）=3.89F=13.6353,检验结果拒绝H0(2)1X7.98，2X6.4，则2snSE0.6848；1788.2)12()(025.0025.0tsnt1403.1526848.01788.2)11(S)16(E025.0kjnnt，故置信区间为：)7203.2,4397.0(1403.158.11403.16.4-7.98.五、（15分）顾客依Poisson过程到达某商店，速率为4人/小时。已知商店上午9：00开门。产地A叶酸含量1A7.38.37.68.48.32A5.47.47.16.85.33A7.99.510.09.88.4（1）试求到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已到达5位顾客的概率。（2）试求到10：00时仅到两位顾客的条件下，下午1：00时已到达10位顾客的概率；（3）试求此Poisson过程}0),({ttN的协方差函数),(tsCN，写出推导过程。解:令t的计时单位为小时，并以9：00为起始时刻。(1)0155.031024}!4)24(}{!1214{}4)21()25(,1)21({}5)25(,1)21({10424214eeeNNNPNNP(2)0665.0!8)34(}2)1({}8)1()4({}2)1({}2)1({}8)1()4(,2)1({}2)1({}2)1(,10)4({}2)1(|10)4({348eNPNNPNPNPNNNPNPNNPNNP(3)),(tsCN=},min{ts,s,t0,过程略。六、（15分）设0,nXn为时齐马氏链，状态空间2,1,0I，一步转移概率矩阵为P=1.08.01.001.09.07.02.01.0初始分布P（X0=0）=0.3，P（X0=1）=0.4，P（X0=2）=0.3。(1)求概率P（X0=0,X1=1,2X=2）；(2)求概率P（X0=1|X1=0,22X）；(3)判断0,nXn是否为遍历的，请说明理由；若是遍历的，求其平稳分布。解：P2=08.018.074.063.019.018.014.06.026.0（1）1134.03.06.063.0)0()0|1()1|2()2,1,0(00112210XPXXPXXPXXXP（2）24.03.014.04.018.014.0)0()0|2()1()1|0()0|2()2,0()2,0,1()2,0|1(1120011221210210XPXXPXPXXPXXPXXPXXXPXXXP（3）P2皆正元，故遍历。设平稳分布为),,(321，由),,(321P=),,(321及1321可得平稳分布为)22363,22379,22381(。七、（15分）设1Z和2Z是独立同分布的随机变量。21)1()1(21ZPZP。记tZtZtXsincos)(21，Rt。证明)(tX是平稳过程。解：由已知，021121121EZEZ，0sincos)sincos())((2121tEZtEZtZtZEtXE又因为：121121)1(222221EZEZ，由21,ZZ的独立性，02121EZEZZEZ，故得：))(cos())cossinsin(cossinsincoscos()sincos)(sincos(),(2122212121stststZZstZstZEsZsZtZtZEstRX所以，)(tX是平稳过程。