吴望一《流体力学》第二章部份习题参考答案

吴望一《流体力学》第二章部份习题参考答案一、基本概念1．连续介质假设适用条件：在研究流体的宏观运动时，如果所研究问题的空间尺度远远大于分子平均间距，例如研究河流、空气流动等；或者在研究流体与其他物体（固体）的相互作用时，物体的尺度要远远大于分子平均间距，例如水绕流桥墩、飞机在空中的飞行（空气绕流飞机）。若不满足上述要求，连续介质假设不再适用。如在分析空间飞行器和高层稀薄大气的相互作用时，飞行器尺度与空气分子平均自由程尺度相当。此时单个分子运动的微观行为对宏观运动有直接的影响，分子运动论才是解决问题的正确方法。2．（1）不可；（2）可以，因为地球直径远大于稀薄空气分子平均间距，同时与地球发生相互作用的是大量空气分子。3．流体密度在压强和温度变化时会发生改变，这个性质被称作流体的可压缩性。流体力学中谈到流体可压缩还是不可压缩一般要结合具体流动。如果流动过程中，压力和温度变化较小，流体密度的变化可以忽略，就可以认为流体不可压缩。随高度的增加而减少只能说明密度的空间分布非均匀。判断流体是否不可压缩要看速度场的散度V。空气上升运动属可压缩流动，小区域内的水平运动一般是不可压缩运动。4．没有，没有，不是。5三个式子的物理意义分别是：流体加速度为零；流动是定常的；流动是均匀的。6欧拉观点：,0drtdt，拉格朗日观点：,,,0abctt71）0，2）const，3)0t8不能。要想由tra,唯一确定trv,还需要速度场的边界条件和初始条件。9物理意义分别为：初始坐标为(,)ab的质点在任意时刻的速度；任意时刻场内任意点(,)xy处的速度。101）Vs，3）VVV11见讲义。12分别是迹线和脉线。13两者皆不是。该曲线可视为从某点流出的质点在某一时刻的位置连线，即脉线。14同一时刻刚体上各点的角速度相同，但流体内各涡度一般不同。该流动流体为团的角速度：1122kijkjvVaykx二流线与迹线，加速度1（1）121212cossincossincossinxxyyVctctctctictctjuxc112cossinxxctct，12cossinyyvctct轨迹微分方程组：1212cossincossinxxyydxuctctdtdyvctctdt积分即可得轨迹。流线微分方程：dxdyuv。积分可得流线方程。（2）流线微分方程：2222yxcydyyxcxdx，积分可得流线方程yax，其中a为常数。（3）流线微分方程：2222yxcxdyyxcydx，即xdyydx，积分得22xyc。（4）流线微分方程：22sincosrrdrdr，积分得sincr。（5）由21rrrv可得0,12vrvr，0v故流线方程为射线00。（6）流线微分方程：332cossindrrdkkrr，积分得2sinrc，c是任意常数。（7）流线微分方程：2dxdyyax，积分得222axyc，c是任意常数。（8）流线微分方程：222dxdyxyxy，积分得323yxyc，c是任意常数。将1,1xy代入确定常数c，可得过该点的流线方程。（9）流线微分方程：22221cos1sindrrdaaVVrr，积分得22sinracr。ra满足上述方程（0c），因而是一条流线。（10）,,0rvra，即球面ra上流体质点没有法向速度，可知该球面是流面。（11）流线微分方程：dxdyxtyt，积分可得xtytc，c是任意常数。将1,1xy代入确定常数c即可得所求流线方程。迹线微分方程：dxxtdtdyytdtzc，积分得到1211ttxtceytcezc。将初始条件代入确定积分常数12,cc，即得所求迹线。（12）迹线微分方程组：220dxaxtdtdyaytdtdzdt，积分得到迹线族：2213222331(22)1(22)atatxatatceayatatceazc，其中1c、2c、3c为积分常数。附积分公式：方程()()dxPtxqtdt的解为()()()PtdtPtdtxecqtedt流线微分方程：22dxdyaxtayt，积分得流线族：2212axtaytczc，其中1c、2c为积分常数。（13）设初始时刻在(,,)abc处的流体质点t时刻到达(,,)xyz处，于是有,,0dxdydwxtytdtdtdt。积分得到该流体质点运动方程：021,1,1zzectyectxtt，初始条件代入确定常数21,cc值，最后得到拉氏表述的运动方程：011,11,ttxtaeytbezz。速度拉格朗日表述：11,11,0ttxyuaevbewtt。2（1）此流动由于速度只有rv分量，即速度方向沿射线方向，所以迹线和流线都是射线（constant.,constant.）。（2）流线与迹线重合的充要条件为速度场方向定常。3速度方向与两曲面公切线方向平行。因为21,ff分别沿曲面21,ff的法向，故22ff沿两曲面公切线方向，即流线方向。速度大小是流线上各点位置的函数，而流线上各点的位置由两曲面方程组成的方程组1122fcfc确定，因而速度大小是1f和2f的函数。4（1）由22dradt知，0.150.15,,044xyzatata。将8x代入迹线方程确定到达该位置的时刻t，然后将该时刻代入加速度表达式即得解。（2）220xyzuaVuyzxzttvaVvxzyzttwaVwt，将该点位置坐标和给定时刻代入即得所求加速度。三运动类型判别1（1）纯剪切流动，kccyzyxkjivrot00，有旋。流线为一组平行于x轴的直线。（2）单一方向均匀流动，0rotv，无旋。流线为一组平行于x轴的直线。（3）刚性圆周运动，20ijkrotvckxyzcycx，有旋。流线：cxdycydx，即222xyR，R为常数。（4）kyxyxcyxcxyxcyzyxkjivrot2222222220，有旋流线：2222yxcxdyyxcydx，即cxy223（1）（a）2///2211tktktkxxuaetkkyyvbetkkzzwcetkk可见速度场定常。（b）2110uvwdivVxyzkkk，故不可压缩。（c)02kzkykxzyxkjivrot，无旋。4（1）流体做非定常运动；（2）流体做定常运动同一流动在不同参照系中有不同特征。五其他（1）证：若流管中存在与流线垂直的横截面，在该横截面上取面元S，则在S的边界周线L上各点速度方向平行该截面的法向，因此垂直于周线L上各点的切向，于是有0LVdr。根据Stokes定理0SLVdSVdr，即0VS。考虑到S的法向平行于V方向，因此可知在该截面的任一点上有0VrotV。2.速度场给定如下（本题中黑体字代表矢量）（1）3rrv，其中222rxyz（2）0crvθ，其中0θ为球坐标中θ方向的单位矢量。求通过以原点为中心，半径为R的球面S的流体体积流量。解：考虑半径为r的球面S，其上的面积微元为2sinsindrdrdrddsnn，其中rrn为面积微元的外法线单位矢量，通过该球面的体积流量为22200()sinsinSQrdrdddrdvsvnvr（1）230()sin4Qrdrdrrr，故求得()4QR（2）因0θ与r垂直，200()sin0cQrdrdrθr，故()0QR