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12015年自主招生物理考前辅导专题讲座第三讲磁场一．带电粒子在磁场中的运动例1.图示为一固定不动的绝缘的圆筒形容器的横截面，其半径为R，圆筒的轴线在O处。圆筒内有匀强磁场，磁场方向与圆筒的轴线平行，磁感应强度为B。筒壁的H处开有小孔，整个装置处在真空中。现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子P（不计重力）以某一初速度沿筒的半径方向从小孔射入圆筒，经与筒壁碰撞后又从小孔射出圆筒。设：筒壁是光滑的，P与筒壁碰撞是弹性的，P与筒壁碰撞时其电荷量是不变的。若要使P与筒壁碰撞的次数最少，问：（1）P的速率应为多少？（2）P从进入圆筒到射出圆筒经历的时间为多少？点评：最少碰撞几次？例2.如图所示，MN是匀强磁场的边界，在磁场中有一粒子源P，它可以不断地沿垂直于磁场方向的平面发射出速度为v、电量为+q、质量为m的粒子。已知匀强磁场的磁感强度为B，方向垂直于纸面向里。P到MN的距离恰好为粒子运动的轨道半径。则在边界MN上可以有粒子射出的范围有多大？（不计粒子重力）点评：射出范围2例3.如图所示，两同心圆半径分别为1rR和2(21)rR。环形区域内存在垂直于圆面的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带电粒子从圆心处以速率v出发沿圆面运动而恰好不能穿越大圆所包围的区域，不计重力。则（1）环形区域内匀强磁场的磁感应强度是多大？（2）该粒子的运动周期是多大？点评：几何关系与对称性二．带电粒子在复合场中的运动1．磁场与磁场的复合例4．如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径A2A4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A2A4与A1A3的夹角为60º。一质量为m、带电量为+q的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A1处沿与A1A3成30º角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于A2A4的方向经过圆心O进入Ⅱ区，最后再从A4处射出磁场。已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t，求Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小（忽略粒子重力）。××××××××××××3例5.(2012华约题)如图，在0≤x≤a的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B；在xa的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小也为B。质量为m、电荷量为q（q0）的粒子沿x轴从原点射入磁场。(l)若粒子在磁场中的轨道半径为2a，求其轨迹与x轴交点的横坐标；(2)为使粒子返回原点，粒子的入射速度应为多大?2.磁场与电场的复合例6．（2013北约题22．22分）如图所示，在一竖直平面内有水平匀强磁场，磁感应强度B的方向垂直于该竖直平面朝里，竖直平面中a、b两点在同一水平线上，两点相距l。带电量q0，质量为m的质点P，以初速度v从a对准b射出。略去空气阻力，不考虑P与地面接触的可能性，设定q、m和B均为不可改取的给定量。（1）若无论l取什么值，均可使P经直线运动通过b点，试问v应取什么值？（2）若v为（1）问可取值之外的任意值，则l取哪些值，可使P必定会经曲线运动通过b点？（3）对每一个满足（2）问要求的l值，计算各种可能的曲线运动对应的P从a到b所经过的时间。（4）对每一个满足（2）问要求的l值，试问P能否从a静止释放后也可以通过b点？若能，再求P在而后运动过程中可达到的最大运动速率vmax。例7.（2014卓越）如图所示，一平行板电容器两极板间电压为U0、相距为d、上极板带正电，极板间有匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。电子从下极板由静止开始运动，到达上极板，对于给定的电压U0，当磁感应强度等于某一临界值时，电子刚好不能到达上极板。已知元电荷量为e，电子质量为m，不计电子重力。（1）求磁感应强度的临界值B；（2）电子在两极板间的运动为曲线运动，一般的曲线运动可以分解为很多小段，每一小段可以看做圆周运动的一部分，求当磁感应强度为临界值时，电子在曲线最高点等效圆周运动的半径r。++++++eablvPBg4例8．（2013山东）如图所示，在坐标系xoy的第一、第三象限内存在相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xoy面向里；第四象限内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E。一质量为m、带电量为+q的粒子自y轴的P点沿x轴正方向射入第四象限，经x轴上的Q点进入第一象限，随即撤去电场，以后仅保留磁场。已知OP=d，OQ=2d，不计粒子重力。（1）求粒子过Q点时速度的大小和方向。（2）若磁感应强度的大小为一定值B0，粒子将以垂直y轴的方向进入第二象限，求B0；（3）若磁感应强度的大小为另一确定值，经过一段时间后粒子将再次经过Q点，且速度与第一次过Q点时相同，求该粒子相邻两次经过Q点所用的时间。例9．（2014模拟）2013年，由清华大学薛其坤院士领衔、清华大学物理系和中科院物理研究所组成的实验团队从实验上首次观测到量子反常霍尔效应。所谓量子反常霍尔效应是指不需要任何外加磁场，在零磁场中就可以实现量子霍尔态的现象。如图所示，一根边长为a、b、c(a＞＞b＞＞c)的矩形截面长棒，由半导体锑化铟制成，棒中有平行于a边的电流I通过，该棒放在垂直于c边向左的匀强磁场B中（电流I所产生的磁场忽略不计），由于洛仑兹力的作用，电流载流子会发生偏转，从而使c边内外两表面形成电势差，当洛仑兹力与电场力相等时，载流子做匀速直线运动，这一现象叫霍尔效应。若该电流的载流子为电子，电子密度n=2.5×1022/m3，电流强度I=1.0A，磁感应强度B=0.1T，b=1.0cm，c=1.0mm，e=1.6×10-19C。在只有电场存在时，电子在半导体中的平均速度v=μE，其中μ=7.8m2/Vs，为电子迁移率。试回答下列问题：（1）c边内外两表面哪个电势高？两表面电差为多少？（2）确定棒中所产生上述电流的总电场的大小和方向。（3）如果电流和磁场都是交变的，且分别为I=I0sinωt，B=B0sin(ωt+φ)，求c边内外表面电势差的直流分量的表达式。abcBI5例10．（2014北约）如图所示，在宽度分别为l1和l2的两个毗邻的条形区域内，分别有匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直于图平面朝里，电场方向与电磁场分界线平行朝右。一个带正电的粒子以速率v从磁场区域上边界的P点偏左斜向射入磁场，然后以垂直于电磁场分界线的方向进入电场，最后从电场区下边界上的Q点射出。已知P、Q连线垂直于电场方向，粒子轨道与电磁场分界线的交点到P、Q连线的距离为d。不计重力，试以l1、l2、v和d为已知量，导出：（1）粒子运动过程中的最大速率vmax；（2）磁感应强度大小（作为分子）与电场强度大小（作为分母）的比值γ；（3）粒子在磁场中运动时间（作为分子）与在电场中运动时间（作为分母）的比值β。3．重力场与电场的复合例11．（2014新课标I卷）如图，O、A、B为同一竖直平面内的三个点，OB沿竖直方向，∠BOA=600，OB=23OA，将一质量为m的小球以一定的初动能自O点水平向右抛出，小球在运动过程中恰好通过A点。使此小球带电，电荷量为q（q＞0），同时加一匀强电场、场强方向与ΔOAB所在平面平行。现从O点以同样的初动能沿某一方向抛出此带电小球，该小球通过了A点，到达A点时的动能是初动能的3倍；若将该小球从O点以同样的初动能沿另一方向抛出，恰好通过B点，且到达B点的动能是初动能的6倍。重力加速度大小为g。求（1）无电场时，小球到达A点时的动能与初动能的比值；（2）电场强度的大小和方向。64.重力场、电场、磁场的复合例12．（2013四川）如下图所示，竖直平面（纸面）内有直角坐标系xOy，x轴沿水平方向。在x≤O的区域内存在方向垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B1的匀强磁场。在第二象限紧贴y轴固定放置长为l、表面粗糙的不带电绝缘平板，平板平行于x轴且与x轴相距h。在第一象限内的某区域存在方向相互垂直的匀强磁场（磁感应强度大小为B2、方向垂直于纸面向外）和匀强电场（图中未画出）。一质量为m、不带电的小球Q从平板下侧A点沿x轴正向抛出；另一质量也为m、带电量为q的小球P从A点紧贴平板沿x轴正向运动，变为匀速运动后从y轴上的D点进入电磁场区域做匀速圆周运动，经四分之一圆周离开电磁场区域，沿y轴负方向运动，然后从x轴上的K点进入第四象限。小球P、Q相遇在第四象限的某一点，且竖直方向速度相同。设运动过程中小球P电量不变，小球P和Q始终在纸面内运动且均看作质点，重力加速度为g。求：(1)匀强电场的场强大小，并判断P球所带电荷的正负；(2)小球Q的抛出速度vo的取值范围；(3)B1是B2的多少倍？