北京科技大学线性代数课件ch2_3

线性代数2-3第二章方阵的行列式2.1行列式的定义2.2行列式的性质2.3行列式的展开定理2.4克莱姆法则线性代数2-32.3行列式的展开定理行列式按一行(列)展开伴随矩阵与矩阵求逆第二章方阵的行列式线性代数2-3ijjiijMA1称为元素aij的代数余子式．定义2.51.行列式按一行(列)展开11121314212223243132333441424344,aaaaaaaaAaaaaaaaa,44434134333124232112aaaaaaaaaM1221121MA.12M,33323123222113121144aaaaaaaaaM.144444444MMA例注意：aij的代数余子式仅与i,j有关，与aij无关．在n阶行列式中,把元素所在的第i行和第j列划去后,剩下来的n-1阶行列式称为元素的余子式,记作.ijaijaijM线性代数2-3设n阶矩阵A=(aij),则A的行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即1122iiiiininAaAaAaAnji,,2,1,1122jjjjnjnjAaAaAaA定理2.4(证明略)1111Aa1212Aa1313Aa如：111213212223313233aaaAaaaaaa121222223232aAaAaA线性代数2-3设n阶矩阵A=(aij),则A的行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即1122iiiiininAaAaAaAnji,,2,1,1122jjjjnjnjAaAaAaA定理2.4(证明略)111213212223313233aaaAaaaaaa133221312312332211aaaaaaaaa332112113223132231aaaaaaaaa)(3223332211aaaaa)(2231322113aaaaa)(3321312312aaaaa1111Aa1212Aa1313Aa说明：线性代数2-3设n阶矩阵A=(aij),则A的行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即1122iiiiininAaAaAaAnji,,2,1,1122jjjjnjnjAaAaAaA定理2.4(证明略)行列式某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即1122,.0,.ijijinjnAijaAaAaAij1122,.0,.ijijninjAijaAaAaAij推论:线性代数2-32111aA2212aA2313aA如：1121122233210aAaAaA0行列式某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即1122,.0,.ijijinjnAijaAaAaAij1122,.0,.ijijninjAijaAaAaAij推论:121222223232aAaAaAA111112121313aAaAaA111213212223313233aaaaaaaaaA线性代数2-3证明：把行列式|A|按第j行展开，有11121121212niiinjjjnnnnnaaaaaaaaaaaa0=1122ijijinjnaAaAaA1iaina2ia,02211jninjijiAaAaAa同理可证明列的情况.所以当i≠j时，第j行线性代数2-30532004140013202527102135D例1计算行列式解:53204140132021352152D532414132526602701321013rr122rr66272101080.评注：1.利用行列式的性质将所给行列式的某行(列)化成只含有一个非零元素.2.按此行(列)展开.每展开一次,行列式的阶数可降低1阶.3.这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用．线性代数2-3例2计算n阶行列式10000011000001100000000110000001naaaaaaDaaa解：递推法等号两端减Dn-112(1)nnnDaDaD112(1)(1)nnnnDDaDaD关于Dn-Dn-1的递推公式))(1(21nnDDa)()1(322nnDDa)()1(122DDan221111aaDaaaDa线性代数2-3221111,aaDaaaDa1(1)nnnDDa1(1)nnnDDa21(1)(1)(1)nnaaaa2112(1)(1)2nnaaaaa关于Dn的递推公式2a12(1)(1)nnnDaa221(1)DDa2121(1)()nnnDDaDD线性代数2-3例3计算n阶行列式123,nnabbbbabbbbabDbbbab≠ai,i=1,…,n.解：加边法1211000nnbbbabbbabDbba1122,,1100100100irrinnbbbababab1rri线性代数2-31122,,1100100100irrinnbbbababab111111,,21000000000iiniiccabinnbbbbabababab121()()()(1)nniibabababab线性代数2-3第二章方阵的行列式2.1行列式的定义2.2行列式的性质2.3行列式的展开定理2.4克莱姆法则线性代数2-32.3行列式的展开定理行列式按一行(列)展开伴随矩阵与矩阵求逆第二章方阵的行列式线性代数2-3范德蒙(Vandermonde)行列式1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)())()((1141312xxxxxxxxn)())((22423xxxxxxn)()(334xxxxn)(1nnxx2()nijijxx12341,,,,,,nnxxxxxx线性代数2-3用数学归纳法：21211xxD12xx,)(12jijixx证明1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD∴所以当n=2时(1)式成立。(1)假设(1)式对于n-1阶范德蒙行列式成立，往证对n阶范德蒙行列式也成立.即线性代数2-3用数学归纳法：1222212112111111()nnnijnnninjnxxxxxxDxxxxx假设(1)式对于n-1阶范德蒙行列式成立，往证对n阶范德蒙行列式也成立.即231222232111()nnijnnnnnijxxxDxxxxx)())()((1141312xxxxxxxxn32422()()()nxxxxxx)()(334xxxxn)(1nnxx32422()()()nxxxxxx)()(334xxxxn)(1nnxx21314112()()()()()nijnijxxxxxxxxxx21314111()()()()nnxxxxxxxxD线性代数2-3按展开3433323124232221432141111xxxxxxxxxxxxD11iirxr2,3,4i)()()(0)()()(001111142413231222144133122141312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx1c242322432141312111))()((xxxxxxxxxxxx213111()()()nnnDxxxxxxD3D线性代数2-311112nnnnrxrrxr)()()(01213231222xxxxxxxxxnnnnn211rxr)()()(001111113312211312xxxxxxxxxxxxxxxnnn223223211312111)())((nnnnnnxxxxxxxxxxxx1().nijijxx21311()()()nxxxxxx2()nijijxxnD)())()((1141312xxxxxxxxDnn)())((22423xxxxxxn)()(334xxxxn)(1nnxx1nD122221211112111nnnnnnnxxxxxxDxxx12()nijnijDxx2()nijijxx线性代数2-3用数学归纳法：21211xxD12xx,)(12jijixx证明1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD∴所以当n=2时(1)式成立。(1)假设(1)式对于n-1阶范德蒙行列式成立，往证对n阶范德蒙行列式也成立.线性代数2-3计算行列式常用方法：1.利用定义2.利用性质化为上(下)三角形行列式3.行列式按行(列)展开降阶6.递推法8.数学归纳法4.每行和为常数,列相加,再提取公因子5.相邻两行(列)依次相减,化简行列式7.加边法9.范德蒙行列式线性代数2-32.3行列式的展开定理行列式按一行(列)展开伴随矩阵与矩阵求逆第二章方阵的行列式线性代数2-3nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211定义2.6行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵:AijAnnnnnnAAAAAAAAAA212221212111(1)伴随矩阵称为矩阵A的伴随矩阵.2.伴随矩阵与矩阵求逆线性代数2-3.EAAAAA证明性质nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA212221212111212222111211AAAEA线性代数2-3定理2.5方阵A可逆|A|≠0,且,11AAA证明:若A可逆，必要性111,AAAA(2)逆矩阵的求法其中A*为矩阵A的伴随矩阵.所以|A|≠0.EAAAAA,0A()(,)AAAAAAE1.AAA充分性行列式法1AAE由有则存在A-1使所以方阵A的A*总存在，但A-1不一定存在.线性代数2-3定理2.5方阵A可逆|A|≠0,且,11AAAEAAAAA,0A,()()AAAEAAA1().AAA由有结论：若矩阵A可逆，则A的伴随矩阵A*也可逆。11AAA1AAA111()().AAAAA证法1：证法2：推论：方阵A不可逆|A|=0.线性代数2-3完成定理1.2的证明：定理1.2对于n阶方阵A、B,若AB=E(或BA=E),11,BAAB则方阵A,B是可逆的,且证明：由AB=E,有1,ABEAB所以，0,0AB从而A,B均可逆。在AB=E两端左乘1,A有1BA在AB=E两端右乘1,B有1AB定理2.5方阵A可逆|A|≠0,且,11AAA线性代数2-3例5判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵.120021234;112154111AB